Chủ đề này có 2 trả lời

[muctieu-5]

Cho tứ diện có các kích thước cạnh như hình trên. Thêm một vài ký hiệu bổ sung mà cũng đã khá quen thuộc với các bạn làm toán:
$R, r, S, V,C,p$: bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, diện tích toàn phần, thể tích, chu vi(tổng tất cả các cạnh) và nửa chu vi tứ diện.
$S_A,S_B,S_C,S_D$ là diện tích các mặt tứ diện đối diện với các đỉnh tương ứng
$R_A, R_B, R_C, R_D$: khoảng cách từ một điểm M nằm trong tứ diện đến các đỉnh tương ứng.
$d_A, d_B, d_C, d_D$: khoảng cách điểm M đó đến các mặt đối diện với các đỉnh tương ứng.
$h_A, h_B, h_C, h_D$: đường cao của tứ diện hạ từ các đỉnh tương ứng.

Mình đã tổng hợp vài BĐT và xin đưa ra vài bất đẳng thức sau:
1) $R \geq 3r$

2) $V \leq \dfrac{8sqrt{3}}{27}R^3$

3) $S \geq 6\sqrt[3]{\sqrt{3}V^2}$

4) $p \geq 3\sqrt{2}\sqrt[3]{3V}$

5) $r\leq\dfrac{\sqrt[3]{9sqrt{3}V}}{6}\leq\dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}S}}{12}\leq\dfrac{\sqrt{6}}{36}p\leq\dfrac{R}{3}$

6) $p^2\geq3\sqrt{3}S$

7) $p^2\geq3\sqrt{3}S+\dfrac{1}{2}((a+a_1-b-b_1)^2+(b+b_1-c-c_1)^2+(c+c_1-a-a_1)^2)+\dfrac{3}{4}((a-a_1)^2+(b-b_1)^2+(c-c_1)^2)$

8) $R_A+ R_B+R_C+ R_D\geq12r$

9) $R_A^2+ R_B^2+R_C^2+R_D^2\geq\dfrac{1}{6}p^2\geq\dfrac{\sqrt{3}}{2}S$

10) $R_AR_BR_CR_D\geq81d_Ad_Bd_Cd_D$

11) $R_A+ R_B+R_C+ R_D\geq3(d_A+d_B+d_C+d_D)$

12) $(R_A+ R_B+R_C+ R_D)(\dfrac{1}{d_A}+\dfrac{1}{d_B}+\dfrac{1}{d_C}+\dfrac{1}{d_D})\geq48$

13) $(R_A^2+ R_B^2+R_C^2+R_D^2)(\dfrac{1}{d_A^2}+\dfrac{1}{d_B^2}+\dfrac{1}{d_C^2}+\dfrac{1}{d_D^2})\geq144$

14) $min(h_A, h_B, h_C, h_D)\leq d_A+d_B+d_C+d_D \leq max(h_A, h_B, h_C, h_D)$

@all: các bạn chứng minh và bổ sung tiếp nhé!

[lucbinh]

Ta có các ký hiệu thường dùng cho tứ diện ABCD là $R,a_i ,S_j ,V,r$lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, độ dài các cạnh, diện tích các mặt , thể tích, bán kính mặt cầu nội tiếp.
Trong tứ diện, quan hệ giữa các đại lượng cơ bản được biểu diễn qua chuỗi bất đẳng thức :


$\dfrac{8}{{\sqrt 3 }}R^2 \ge \dfrac{1}{{12\sqrt 3 }}\left( {\sum\limits_{1 \le i \le 6} {a_i } } \right)^2 \ge \sum\limits_{1 \le j \le 4} {S_j } \ge 6\sqrt[6]{3}V^{\dfrac{2}{3}} \ge 24\sqrt 3 r^2 $

Từ đó ta có thể phát biểu thành 10 bất đẳng thức khác nhau cũng như các bài toán cực trị tương ứng.

Mình đã tìm ra và chứng minh xong chuỗi BDT đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 10-05-2009 - 09:02

[loigiailanhlung]

Ta có các ký hiệu thường dùng cho tứ diện ABCD là $R,a_i ,S_j ,V,r$lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, độ dài các cạnh, diện tích các mặt , thể tích, bán kính mặt cầu nội tiếp.
Trong tứ diện, quan hệ giữa các đại lượng cơ bản được biểu diễn qua chuỗi bất đẳng thức :


$\dfrac{8}{{\sqrt 3 }}R^2 \ge \dfrac{1}{{12\sqrt 3 }}\left( {\sum\limits_{1 \le i \le 6} {a_i } } \right)^2 \ge \sum\limits_{1 \le j \le 4} {S_j } \ge 6\sqrt[6]{3}V^{\dfrac{2}{3}} \ge 24\sqrt 3 r^2 $

Từ đó ta có thể phát biểu thành 10 bất đẳng thức khác nhau cũng như các bài toán cực trị tương ứng.

Mình đã tìm ra và chứng minh xong chuỗi BDT đó.

C/m tn vậy bạn