Chủ đề này có 20 trả lời

[NguLauDotBen]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguLauDotBen: 23-05-2009 - 13:56

[chinhphuc_math]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị

$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Các bài này phải có điều kiện chứ không giải nổi được đâu xem lại đề đi

[NguLauDotBen]

Em thêm D(K rùi anh ơi giải giùm em đi anh

[Thanh_mathfriend]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Câu a)
Bất đẳng thức trở thành:
$\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)^2 - 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 2 \ge 0
$
Đặt $u = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$ thì bất phương trình trở thành:
${u^2} - 3u + 2 \ge 0 \leftrightarrow \left( {u - 2} \right)\left( {u - 1} \right) \ge 0$
--> ĐPCM
Câu b)
Bất đẳng thức trở thành:
$\begin{array}{l} \dfrac{{\left( {2 + {y^2} + {x^2}} \right)\left( {1 + xy} \right) - 2\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0 \\ \leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0 \\ \end{array}$
--> ĐPCM

[Thanh_mathfriend]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Câu e)
Cách 1:Áp dụng BĐT cauchy-schwars:
$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b + c}}{2}
$
--> ĐPCM
Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a \\
\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b \\
\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge b \\
\to \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} \ge \sum {\dfrac{a}{2}} } - \sum {\dfrac{{b + c}}{4}} = \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\end{array}
$
--> ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh_mathfriend: 23-05-2009 - 16:43

[YoungUno]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Câu cuối dùng côsi
$a^8+b^8+c^8>=a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4>=a^4b^2c^2+b^4c^2a^2+c^4a^2b^2=a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)>=a^2b^2c^2(ab+bc+ca)$
chia 2 vế cho a^3b^3c^3 ra roài

[YoungUno]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Câu 4:
$\dfrac{a^3}{b}+ab>=2a^2$
$\dfrac{b^3}{c}+bc>=2b^2$
$\dfrac{c^3}{a}+ac>=2c^2$
$2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)$
ra roài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoungUno: 23-05-2009 - 17:40

[nguyen_ct]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

câu 3 sai đề rùi bạn ah` xét a=b=c=2 --> VT =3 :VP=6

[math_301095]

câu 3 sai đề rùi bạn ah` xét a=b=c=2 --> VT =3 :VP=6

Đề sai thật. chắc đúng phải là:
$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

[anh qua]

$ \dfrac{a^2}{b^2} +1 \geq 2\dfrac{a}{b} $, xây thêm 2 cái tương tự cộng vào ta có:$ \dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2} +3 \geq 2( \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} ). $
Mà $ \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \geq 3
=>\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2} +\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \geq 2( \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} ) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 25-05-2009 - 15:48

[vuthanhtu_hd]

KÍnh thưa các anh chị, em mới học về bất đẳng thức nên có mấy bài này hok bik làm kính mong các anh chị giúp em. Các anh chị viết cặn kẽ giùm em nha em mới học nên chưa hiểu anh được, ths các anh chị
ĐK: a, b, c >0, x, y khác 0 đối với câu a và x,y>=1 với câu b
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x^2 }}{{y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{x^2 }} + 4 \ge 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \\
\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 + xy}} \\
\dfrac{{a^2 }}{{b^2 }} + \dfrac{{b^2 }}{{c^2 }} + \dfrac{{c^2 }}{{a^2 }} \ge a + b + c \\
\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca \\
\dfrac{{a^2 }}{{b + c}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} \\
\dfrac{{a^8 + b^8 + c^8 }}{{a^3 b^3 c^3 }} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\
\end{array}
$

Em làm thêm bài này nhé

a)Cho $a,b>0$ .
CMR
$\dfrac{4ab}{{a+b)^2}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 3$

b)(T5/349 -THTT)Cho $a,b,c>0$ .CMR
$4abc[\dfrac{1}{{a+b)^2c}+\dfrac{1}{{b+c)^2a}+\dfrac{1}{{c+a)^2b}]+\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \qe 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 25-05-2009 - 18:05

[- Nguyên Lê -]

Em làm thêm bài này nhé

a)Cho $a,b>0$. CMR:
$\dfrac{4ab}{(a+b)^2}+\dfrac ab+\dfrac ba\ge3$

b)(T5/349 -THTT)Cho $a,b,c>0$ .CMR
$4abc\left[\dfrac1{(a+b)^2c}+\dfrac1{(b+c)^2a}+\dfrac1{(c+a)^2b}\right]+\dfrac{a+b}c+\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}b\ge9$

Em tạm chỉnh lại như vậy nhé . Và cũng thử chém xem
a) BĐT tương đương:
$\\\left(\dfrac ab+\dfrac ba-2\right)+\left[\dfrac{4ab}{(a+b)^2}-1\right]\ge0\\\Leftrightarrow\dfrac{(a-b)^2}{ab}-\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\ge0\\\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\dfrac1{ab}-\dfrac1{(a+b)^2}\right)$
Đúng vì $(a+b)^2\ge ab$
Dấu bằng khi a=b
b) Viết lại:
$\\\dfrac{4ab}{(a+b)^2}+\dfrac{4bc}{(b+c)^2}+\dfrac{4ca}{(c+a)^2}+\dfrac ac+\dfrac bc+\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab\ge9$
Trở về bài toán trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi - Nguyên Lê -: 28-05-2009 - 21:16

[NguLauDotBen]

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác, $p$ là chu vi. C/m
$
\begin{array}{l}
\dfrac{{a^2 }}{{b + c - a}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a - b}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b - c}} >=2p\\
(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \ge abc \\
b^2 x^2 - (b^2 + c^2 - a^2 )x + c^2 > 0 \forall x \\
\end{array}
$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguLauDotBen: 02-06-2009 - 22:29

[manhsoi]

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác, $p$ là chu vi. C/m
$

\dfrac{{a^2 }}{{b + c - a}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a - b}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b - c}}
$

câu này có vấn đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhsoi: 02-06-2009 - 18:48

[manhsoi]

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác, $p$ là chu vi. C/m
$

abc \geq (b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \ge 2p


$

vầy cho vui

[NguLauDotBen]

Em sửa lại rồi mấy anh làm ơn giải giùm em

[Hero Math]

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác, $p$ là chu vi. C/m
$
\begin{array}{l}
\dfrac{{a^2 }}{{b + c - a}} + \dfrac{{b^2 }}{{c + a - b}} + \dfrac{{c^2 }}{{a + b - c}} >=2p\\
(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \ge abc \\
b^2 x^2 - (b^2 + c^2 - a^2 )x + c^2 > 0 \forall x \\
\end{array}
$

có vấn đề, phải là p là nửa chu vi
và bài dưới là $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc $mới đúng

[Hero Math]

nếu dửa đề như trên thì :
Bài 1:Theo schwazs ta có :$ VT\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c=2p$(với p là nửa chu vi)
bài 2: theo cô si :
$(a+b-c)(b+c-a)\leq\dfrac{ (a+b-c+b+c-a)^{2}}{4}=b^2$
Làm tương tự r?#8220;i nhân vào thì $[(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^{2}\leq (abc)^{2}$ suy ra ĐPCM
bài này ko cần giả thiết a,b,c là 3 cạnh tam giác cũng vẫn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 02-06-2009 - 22:43

[Le Phuong Thao Nhi]

Câu3: Giả sử đó là 1 Pt thì
$\Delta = (b^2+c^2-a^2)- 4b^2c^2$<0
PT vô nghiệm.
Mà $b^2>0 \Rightarrow$ Ta có đpcm
(đây là cách l9)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-06-2009 - 09:43

[NguLauDotBen]

C/m giùm em mấy cái bđt nhỏ xíu này nha:
Cho a, b đều dương và a+b<=1. C/m
$a^{2}b \leq \dfrac{4}{27} $
$ab + \dfrac{1}{ab} \geq \dfrac{17}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguLauDotBen: 04-06-2009 - 20:52