Chủ đề này có 2 trả lời

[phuchung]

Mọi người làm bài này cho vui:
Cho $0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$
Tìm GTLN theo $p,q$ của:
$A=\sin^p{\alpha}.cos^q{\alpha}$

($p, q \in Z^+$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuchung: 23-05-2009 - 21:59

[L_Euler]

$x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ nên $0 \le cosx,sinx \le 1$

Thế thì:
$\begin{matrix}1 = \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x = \left( {\dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + .... + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p}} \right) + \left( {\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} + \dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} +....\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q}} \right) \\\ge (p+q).\sqrt[{p+q}]{{\dfrac{{\sin ^{2p} x.c{\rm{os}}^{2q} x}}{{p^p .q^q }}}} = (p+q).\sqrt[{(p+q)}]{{\dfrac{{\left( {\sin ^p x.c{\rm{os}}^q x} \right)^2 }}{{p^p .q^q }}}} \leftrightarrow \sin ^p x.c{\rm{os}}^q x \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{{p+q}}} \right)^{p+q} .p^p .q^q } \\\end{matrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 16-08-2009 - 11:05

[nxq2705]

$x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ nên $0 \le cosx,sinx \le 1$

Thế thì:
$\begin{matrix}1 = \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x = \left( {\dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + .... + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p}} \right) + \left( {\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} + \dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} +....\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q}} \right) \\\ge (p+q).\sqrt[{p+q}]{{\dfrac{{\sin ^{2p} x.c{\rm{os}}^{2q} x}}{{p^p .q^q }}}} = (p+q).\sqrt[{(p+q)}]{{\dfrac{{\left( {\sin ^p x.c{\rm{os}}^q x} \right)^2 }}{{p^p .q^q }}}} \leftrightarrow \sin ^p x.c{\rm{os}}^q x \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{{p+q}}} \right)^{p+q} .p^p .q^q } \\\end{matrix}$

Cách này hay nhỉ! Mình tưởng chỉ có cách dùng đạo hàm chứ! Mà cách bạn dùng gói matrix để soạn thành 2 dòng như thế cũng lạ đấy chứ! Theo minh biết thì xưa nay căn dòng vẫn dùng gói align chứ??!! Mà sao bạn gõ lệnh cos cũng lạ thế? mình k hỉu! Cách dùng đạo hàm nè

$
A^2=\sin^{2p}x\cdot\cos^{2q}x=\sin^{2p}x\cdot (1-\sin^2x)^q.
$
Đặt $ t=\sin^2x, \quad (0\leq t\leq 1)$, xét hàm số
$
f(t)=t^p\cdot (1-t)^q, \quad (t\in [0;1]).
$
Ta có
$ f'(t)=t^{p-1}(1-t)^{q-1}[p-(p+q)t].$
Lập bảng biến thiên ra sẽ thấy nó đại cực trị tại $t=\dfrac{p}{p+q}.$

==========

L_Euler@: À tại cái Code hơi khủng nên tớ type trong mathtype rồi paste sang, code array ko được dùng nữa nên đổi thành matrix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 24-05-2009 - 22:50