2 replies to this topic

[phuchung]

Mọi người làm bài này cho vui:
Cho $0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$
Tìm GTLN theo $p,q$ của:
$A=\sin^p{\alpha}.cos^q{\alpha}$

($p, q \in Z^+$)

Edited by phuchung, 23-05-2009 - 21:59.

[L_Euler]

$x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ nên $0 \le cosx,sinx \le 1$

Thế thì:
$\begin{matrix}1 = \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x = \left( {\dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + .... + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p}} \right) + \left( {\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} + \dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} +....\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q}} \right) \\\ge (p+q).\sqrt[{p+q}]{{\dfrac{{\sin ^{2p} x.c{\rm{os}}^{2q} x}}{{p^p .q^q }}}} = (p+q).\sqrt[{(p+q)}]{{\dfrac{{\left( {\sin ^p x.c{\rm{os}}^q x} \right)^2 }}{{p^p .q^q }}}} \leftrightarrow \sin ^p x.c{\rm{os}}^q x \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{{p+q}}} \right)^{p+q} .p^p .q^q } \\\end{matrix}$

Edited by L_Euler, 16-08-2009 - 11:05.

[nxq2705]

$x \in [0;\dfrac{\pi}{2}]$ nên $0 \le cosx,sinx \le 1$

Thế thì:
$\begin{matrix}1 = \sin ^2 x + c{\rm{os}}^2 x = \left( {\dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p} + .... + \dfrac{{\sin ^2 x}}{p}} \right) + \left( {\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} + \dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q} +....\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x}}{q}} \right) \\\ge (p+q).\sqrt[{p+q}]{{\dfrac{{\sin ^{2p} x.c{\rm{os}}^{2q} x}}{{p^p .q^q }}}} = (p+q).\sqrt[{(p+q)}]{{\dfrac{{\left( {\sin ^p x.c{\rm{os}}^q x} \right)^2 }}{{p^p .q^q }}}} \leftrightarrow \sin ^p x.c{\rm{os}}^q x \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{{p+q}}} \right)^{p+q} .p^p .q^q } \\\end{matrix}$

Cách này hay nhỉ! Mình tưởng chỉ có cách dùng đạo hàm chứ! Mà cách bạn dùng gói matrix để soạn thành 2 dòng như thế cũng lạ đấy chứ! Theo minh biết thì xưa nay căn dòng vẫn dùng gói align chứ??!! Mà sao bạn gõ lệnh cos cũng lạ thế? mình k hỉu! Cách dùng đạo hàm nè

$
A^2=\sin^{2p}x\cdot\cos^{2q}x=\sin^{2p}x\cdot (1-\sin^2x)^q.
$
Đặt $ t=\sin^2x, \quad (0\leq t\leq 1)$, xét hàm số
$
f(t)=t^p\cdot (1-t)^q, \quad (t\in [0;1]).
$
Ta có
$ f'(t)=t^{p-1}(1-t)^{q-1}[p-(p+q)t].$
Lập bảng biến thiên ra sẽ thấy nó đại cực trị tại $t=\dfrac{p}{p+q}.$

==========

L_Euler@: À tại cái Code hơi khủng nên tớ type trong mathtype rồi paste sang, code array ko được dùng nữa nên đổi thành matrix

Edited by L_Euler, 24-05-2009 - 22:50.