Chủ đề này có 181 trả lời

[Hero Math]

cho $x,y,z \in [\dfrac{1}{2};1]$ .Tìm GTNN và GTLN của :$ A=\dfrac{x+y}{1+z}+\dfrac{y+z}{1+x}+\dfrac{x+z}{1+y}$

Ta có :$x+y\geq 1$ nên $x+y+z\geq1+z$, tương tự $x+y+z\geq1+x, x+y+z\geq 1+y$

suy ra$ A\geq \dfrac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Vì $x,y,z\leq 1$ nên$ \dfrac{x}{1+z}\leq \dfrac{x}{x+z},...$

Nên $A=\dfrac{x}{1+z}+\dfrac{y}{1+z}+\dfrac{y}{1+x}+\dfrac{z}{1+x}+\dfrac{x}{1+y}+\dfrac{z}{1+y}\leq $$(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{z}{x+z})+(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{y+z})+(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{x}{x+y})=3 $

Vậy $A\leq 3$ khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 13-06-2009 - 13:46

[Hero Math]

a, CMR: $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\geq 16(\dfrac{1}{(a+2b+c)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2c+a)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2a+c)^{2}})$

b, Cho $a,b,c >0$ .CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{c^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a^{2}}{c^{2}}+3\geq \dfrac{36}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 13-06-2009 - 15:59

[No Problem]

a, CMR: $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\geq 16(\dfrac{1}{(a+2b+c)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2c+a)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2a+c)^{2}})$

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{1}{4}.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\ge \dfrac{64}{(a+2b+c)^2}$
Lập mấy cái tt=>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi No Problem: 13-06-2009 - 17:46

[drnohad]

a, CMR: $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\geq 16(\dfrac{1}{(a+2b+c)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2c+a)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2a+c)^{2}})$

b, Cho $a,b,c >0$ .CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{c^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a^{2}}{c^{2}}+3\geq \dfrac{36}{a+b+c}$

Hình như câu b, $a,b,c \geq 1 $ mới đúng

[Hero Math]

Em sửa rồi ạ, vì lúc đó vội quá ấy mà :
Cho a,b,c không âm .CMR:$\dfrac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+ \sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+ \sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$

ko ai làm bài này rất hay .
Còn bài trên 0 sai đề .CHo bài mình vừa nghĩ ra :
Cho$ a,b,c>0$ .CMR:$ \dfrac{b^{8}+2a^{7}+c^{6}}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{c^{8}+2b^{7}+a^{6}}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{a^{8}+2c^{7}+b^{6}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}$

[No Problem]

ko ai làm bài này rất hay .
Còn bài trên 0 sai đề .CHo bài mình vừa nghĩ ra :
Cho$ a,b,c>0$ .CMR:$ \dfrac{b^{8}+2a^{7}+c^{6}}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{c^{8}+2b^{7}+a^{6}}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{a^{8}+2c^{7}+b^{6}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}$

ko ai làm bài này rất hay .

bài đó đã nghĩ mà chưa ra mà bài đó ông tự sáng tác à?
$ \dfrac{b^{8}+2a^{7}+c^{6}}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{c^{8}+2b^{7}+a^{6}}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{a^{8}+2c^{7}+b^{6}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}$
Ta có
$\sum\dfrac{a^8}{a^3+b^3}\ge \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^2}{2(a^3+b^3+c^3}\ge \dfrac{(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)}{6}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)}{18}$
$\sum\dfrac{2a^7}{b^3+c^3}=\sum\dfrac{2a^8}{ab^3+ac^3}\ge \dfrac{2(a^4+b^4+c^4)^2}{\sum\ a^3b+\sum \ ab^3}\ge \ a^4+b^4+c^4\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} $
$\sum\dfrac{a^6}{a^3+c^3}\ge \dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)}$
cộng 3 cái lại
$VT\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}.(\dfrac{a+b+c}{6}+\dfrac{3}{2(a+b+c)}+1)\ge \ VP$
p/s:ông Hiếu xem cón cách nào ngắn hơn hok,post lên đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi No Problem: 14-06-2009 - 18:52

[Hero Math]

bài đó đã nghĩ mà chưa ra mà bài đó ông tự sáng tác à?
$ \dfrac{b^{8}+2a^{7}+c^{6}}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{c^{8}+2b^{7}+a^{6}}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{a^{8}+2c^{7}+b^{6}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}$
Ta có
$\sum\dfrac{a^8}{a^3+b^3}\ge \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^2}{2(a^3+b^3+c^3}\ge \dfrac{(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)}{6}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)}{18}$
$\sum\dfrac{2a^7}{b^3+c^3}=\sum\dfrac{2a^8}{ab^3+ac^3}\ge \dfrac{2(a^4+b^4+c^4)^2}{\sum\ a^3b+\sum \ ab^3}\ge \ a^4+b^4+c^4\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} $
$\sum\dfrac{a^6}{a^3+c^3}\ge \dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)}$
cộng 3 cái lại
$VT\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}.(\dfrac{a+b+c}{6}+\dfrac{3}{2(a+b+c)}+1)\ge \VP$
p/s:ông Hiếu xem cón cách nào ngắn hơn hok,post lên đi

uh, bài này mình mới sáng tác ra thôi thì post cách của mình vậy :
Áp dụng BĐT côsi :
$VT\geq \dfrac{2(a^{7}+b^{4}c^{3})}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{2(a^{7}+c^{4}a^{3})}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{2(c^{7}+a^{4}b^{3})}{a^{3}+b^{3}} $
Ta cso : $: a^{7}, b^{7}, c^{7}$ và $ \dfrac{1}{b^{3}+c^{3}}, \dfrac{1}{a^{3}+c^{3}}, \dfrac{1}{a^{3}+b^{3}}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều nên áp dụng BĐT hoán vị :
$\sum\dfrac{2a^{7}}{b^{3}+c^{3}}\geq \sum(\dfrac{2a^{7}}{a^{3}+b^{3}})$
$ \Leftrightarrow 2(\dfrac{a^{7}+b^{4}c^{3}}{b^{3}+c^{3}}+ \dfrac{b^{7}+c^{4}a^{3}}{a^{3}+c^{3}}+ \dfrac{c^{7}+a^{4}b^{3}}{a^{3}+b^{3}})\geq \sum2(\dfrac{a^{4}(a^{3}+b^{3})}{a^{3}+b^{3}})$$=2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq VP$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 14-06-2009 - 16:00

[Hero Math]

(1) Cho $a,b,c > 0$ .CMR: $\dfrac{ab+bc+ac}{a+b+c}\geq\dfrac{3abc}{ab+ac+bc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 15-06-2009 - 19:51

[Hero Math]

(2) Cho $a,b,c \geq 0 $và $a+b+c=1$.Tìm GTLN của:$ P=\dfrac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\dfrac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\dfrac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$

(3).Với $a,b,c$ là các số dương và $ab+bc+ac=abc$. Tìm GTLN của : $A=\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^{2}+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 15-06-2009 - 19:50

[No Problem]

(1) Cho $a,b,c > 0$ .CMR: $\dfrac{ab+bc+ac}{a+b+c}\geq\dfrac{3abc}{ab+ac+bc}$

BDT
$(ab+bc+ca)^2\ge \ (ab+bc+ca)(a+b+c)$
xài cái này$a^2+b^2+c^2\ge \ ab+bc+ca$

[Hero Math]

Cho $a,b,c >0 $và $ a+b+c=1$.CMR:$ \dfrac{\sqrt{a^{2}+abc}}{c+ab}+\dfrac{\sqrt{b^{2}+abc}}{a+bc}+\dfrac{\sqrt{c^{2}+abc}}{b+ac}\leq \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$

[Hero Math]

Cho $a,b,c > 0$ và $ab+bc+ac=3$. CMR : $ \dfrac{a^{3}}{bc(b+c)^{3}}+\dfrac{b^{3}}{ac(a+c)^{3}}+\dfrac{c^{3}}{ab(a+b)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$

[Toanlc_gift]

Cho $a,b,c >0 $và $ a+b+c=1$.CMR:$ \dfrac{\sqrt{a^{2}+abc}}{c+ab}+\dfrac{\sqrt{b^{2}+abc}}{a+bc}+\dfrac{\sqrt{c^{2}+abc}}{b+ac}\leq \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$

Bài toán này có thể xem ở đây:
http://www.maths.vn/...8039#post118039

Cho $a,b,c > 0$ và $ab+bc+ac=3$. CMR : $ \dfrac{a^{3}}{bc(b+c)^{3}}+\dfrac{b^{3}}{ac(a+c)^{3}}+\dfrac{c^{3}}{ab(a+b)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$

dùng chebyshev đi
$VT \ge \dfrac{1}{3}\left( {\sum {\dfrac{1}{{ab}}} } \right)\left( {\sum {{{(\dfrac{a}{{b + c}})}^3}} } \right) \ge \dfrac{3}{8}$

[Toanlc_gift]

Bài toán này có thể xem ở đây:
http://www.maths.vn/...8039#post118039

dùng chebyshev đi
$VT \ge \dfrac{1}{3}\left( {\sum {\dfrac{1}{{ab}}} } \right)\left( {\sum {{{(\dfrac{a}{{b + c}})}^3}} } \right) \ge \dfrac{3}{8}$

hoặc là dùng AM-GM như sau:
$\dfrac{{{a^3}}}{{bc{{(b + c)}^3}}} + \dfrac{{a(b + c)}}{{16}} + \dfrac{{a(b + c)}}{{16}} + \dfrac{{(b + c)}}{{16}} + \dfrac{{bc}}{8} \ge \dfrac{5}{8}a$
làm 2 cái tương tự rồi cộng lại là đc

[dungbo_213]

Do $a,b,c$ hoán vị vòng quanh nên giả sử
$a \ge b,a\ge c$

CM
$\dfrac{b^2+1}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{a^2+1} \le (b+c)^2+1+\dfrac{1}{a^2+1}$
(chuyển sang ,quy đồng =>> đúng)
suy ra

$A\le a^2+(b+c)^2+\dfrac{1}{a^2+1}+2$

ta cm
$a^2+(b+c)^2+\dfrac{1}{a^2+1} \le \dfrac{3}{2}$
$a^2+(1-a)^2+\dfrac{1}{a^2+1} \le \dfrac{3}{2}$

biến đổi và có $1\ge a\ge \dfrac{1}{3}$
là đc
@: biết sai rồi mà ko del bài đc nên làm bài khác thế vào (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungbo_213: 18-06-2009 - 19:03

[Hero Math]

Em sửa rồi ạ, vì lúc đó vội quá ấy mà :
Cho a,b,c không âm .CMR:$\dfrac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+ \sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+ \sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$

ko ai làm bài này ạ

[cvp]

còn bài này ạ,!

Bài này để anh làm nha:
$\dfrac{{a^3 }}{b} + ab \ge 2a^2 ;\dfrac{{b^3 }}{c} + bc \ge 2b^2 ;\dfrac{{c^3 }}{a} + ac \ge 2c^2$
mà $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$
nên VT≥ab+bc+ca
$ \Rightarrow 2VT \ge \dfrac{{a^3 }}{b} + bc + \dfrac{{b^3 }}{c} + ca + \dfrac{{c^3 }}{a} + ab \ge 2a\sqrt {ac} + 2b\sqrt {ba} + 2c\sqrt {cb} $
=>đpcm Dấu = xãy ra khi a=b=c.


Cố lên em anh thấy em giỏi lắm!
…………Tam Dương…………

[cvp]

CHo a,b,c ko âm và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.TÌm GTNN :$ P=\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}$

Bài nè không khó;để ý rằng
$\begin{array}{l}
a + abc \le a + \dfrac{{a(b^2 + c^2 )}}{2} = 1 - \dfrac{{\left( {a - 1} \right)^2 \left( {a + 2} \right)}}{2} \le 1 \\
\Rightarrow \dfrac{a}{{bc + 1}} = \dfrac{{a^2 }}{{abc + a}} \ge a^2 \\
\end{array}$
tương tự cộng lại là xong!
Bổ sung: bài toán này có thể tìm đc cả max nữa bằng $\sqrt 2 $

[Hero Math]

Cho $a,b,c > 0$ và $ab+bc+ac=3$.CMR: $8(a+b+c)^{2}\geq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

[Hero Math]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.CMR: $\sqrt{\dfrac{a}{2+b}}+\sqrt{\dfrac{b}{2+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{2+a}}\geq \sqrt{3}$