Chủ đề này có 6 trả lời

[tuan101293]

1,$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$
$Q(x)=x^2+x+2007$
Biết P(x) có 3 nghiệm phân biệt và P(Q(x)) ko có nghiệm
CMR:$p(2007)>\dfrac{1}{64}$
2$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có 3 nghiệm thực
CMR
$Q(x)=x^3+ax^2+\dfrac{(a^2+b)x}{4}+\dfrac{ab-c}{8}$
cũng có nghiệm thực

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 02-06-2009 - 21:27

[hongthaidhv]

1,$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$
$Q(x)=x^2+x+2007$
Biết P(x) có 3 nghiệm phân biệt và P(Q(x)) ko có nghiệm
CMR:$p(2007)>\dfrac{1}{64}$
2$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có 3 nghiệm thực
CMR
$Q(x)=x^3+ax^2+\dfrac{(a^2+b)x}{4}+\dfrac{ab-c}{8}$
cũng có nghiệm thực

Em nói rõ hơn đề câu 2 đi, hình như thiếu đề )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 04-06-2009 - 20:35

[tuan101293]

ko có pro nào giúp mình ah???

[lamminhbato]

1,$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$
$Q(x)=x^2+x+2007$
Biết P(x) có 3 nghiệm phân biệt và P(Q(x)) ko có nghiệm
CMR:$p(2007)>\dfrac{1}{64}$

Câu $1$

Gọi $r_1,r_2,r_3$ là nghiệm cuả $P(x)\Rightarrow P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Vì $P(Q(x))$ vô nghiệm nên pt $x^2+x+2007-x_i=0$ vô nghiệm $\Rightarrow 2007-x_i>\dfrac {1}{4}$
$\Rightarrow P(2007)=(2007-x_1)(2007-x_2)(2007-x_3)>\dfrac {1}{4^3}$
Từ đây ta có $QED$.

REMARK- Bài toán này có thể tổng quát được cho đa thức $P$ có $degP=n$, cụ thể như sau:
"Cho $P(x)=x^n+a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...+a_2x+a_1$, $Q(x)=x^2+x+k$
Trong đó $P,Q\in \mathbb {R}[x]$, $P(x)$ có đúng $n$ nghiệm, $k$ là hằng số dương ko đổi.
CMR: $P(k)>\dfrac {1}{4^n}$"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamminhbato: 04-06-2009 - 11:16

[Gioongke.DC]

Bài thứ 2 không ai giải à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gioongke.DC: 04-06-2009 - 11:56

[tanlsth]

Bài 2 chắc chỉ cần áp dụng cái này là ra
Nếu đa thức $P(x)$ bậc $n$ có $n$ nghiệm thực thì với mọi $a \in R$ ta đều có đa thức $P(x)+aP'(x)$ cũng có $n$ nghiệm thực

Áp dụng và chọn hệ số phù hợp là ra.

[quangvinht2]

bài 2 hình như dùng định lí Viet đảo, pt thứ 2 có 3 nghiệm là trung bình cộng đôi một của 3 nghiệm pt đầu.
Đề viết thiếu là pt 2 có 3 nghiệm thực chứ còn đa thức bậc 3 nào mà chẳng có nghiệm thực