Chủ đề này có 4 trả lời

[thienbinh23]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R , kẻ đường cao AD , BE, CF,giao nhau tai H, đường thảng EF cắt đường tron O tại M,N (F nằm giữa E và N).
c/m: AN là tia tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác NDH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienbinh23: 12-06-2009 - 14:01

[cartoonboy]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R , kẻ đường cao AD , BE, CF,giao nhau tai H, đường thảng EF cắt đường tron O tại M,N (F nằm giữa E và N).
c/m: AN là tia tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác NDH

Ta phải cm góc ANH = 1/2sđ cung NH của đường tròn (NDH).Muốn vậy phải cm góc ANH = góc NDH.
* Cm được 2tg AEB và AFC đồng dạng (g-g) => AE/AF = AB/AC => AE/AB = AF/AC và góc A chung => tgAEF đồng dạng tgABC (c-g-c) => gócAEF = gócABC.
* Gọi AA' là đường kính của (O) và I là giao điểm của AA' với MN. Ta có góc ACA' = 90độ (gnt chắn 1/2 đường tròn). Ta có gócCA'A = gócABC (2góc nt cùng chắn cung AC). Theo cm trên thì góc CA'A = gócAEF,mà gócAE F + góc FEC = 180độ ( 2góc kề bù) => góc FEC + góc CA'A = 180độ => tứ giác EIA'C nội tiếp được đường tròn => gócEIA' + góc A'CA = 180độ => gócEIA' = 90độ => A'A vuông góc với MN tại I => A là điểm chính giữa cung MN => cungMA = cungNA.
* Cm được gócANM = gócNBA (gnt chắn 2 cung bằng nhau) => tgAFN đồng dạng tgANB (g-g) => AN^2 = AF.AB. Cm được tgAFH đồng dạng tgADB => AF.AB = AH.AD => AN^2 = AH.AD => AN/AD = AH/AN.Từ đó => tgAHN đồng dạng tgAND (c-g-c) => góc ANH = góc NDH. Mà gócNDH = 1/2sđ cung NH của đường tròn (NDH) => gócANH = 1/2sđ cung NH => AN là tiếp tuyến của đường tròn (NDH) ( theo đlí đảo của đl về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)

[khaitam]

Ta phải cm góc ANH = 1/2sđ cung NH của đường tròn (NDH).Muốn vậy phải cm góc ANH = góc NDH.
* Cm được 2tg AEB và AFC đồng dạng (g-g) => AE/AF = AB/AC => AE/AB = AF/AC và góc A chung => tgAEF đồng dạng tgABC (c-g-c) => gócAEF = gócABC.
* Gọi AA' là đường kính của (O) và I là giao điểm của AA' với MN. Ta có góc ACA' = 90độ (gnt chắn 1/2 đường tròn). Ta có gócCA'A = gócABC (2góc nt cùng chắn cung AC). Theo cm trên thì góc CA'A = gócAEF,mà gócAE F + góc FEC = 180độ ( 2góc kề bù) => góc FEC + góc CA'A = 180độ => tứ giác EIA'C nội tiếp được đường tròn => gócEIA' + góc A'CA = 180độ => gócEIA' = 90độ => A'A vuông góc với MN tại I => A là điểm chính giữa cung MN => cungMA = cungNA.
* Cm được gócANM = gócNBA (gnt chắn 2 cung bằng nhau) => tgAFN đồng dạng tgANB (g-g) => AN^2 = AF.AB. Cm được tgAFH đồng dạng tgADB => AF.AB = AH.AD => AN^2 = AH.AD => AN/AD = AH/AN.Từ đó => tgAHN đồng dạng tgAND (c-g-c) => góc ANH = góc NDH. Mà gócNDH = 1/2sđ cung NH của đường tròn (NDH) => gócANH = 1/2sđ cung NH => AN là tiếp tuyến của đường tròn (NDH) ( theo đlí đảo của đl về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)

Chúc mừng bạn Cartoonboy ! Bạn đã tìm ra đáp án ! Bạn thật giỏi ! Nhưng bạn chứng minh cung AN= cung AM hơi dài !Theo mình thì có thể làm thế này :
Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp $ \Rightarrow \widehat{FEA}= \widehat{FBC}$(góc ngoài của tứ giác nội tiếp).
Mà$ \widehat{FEA}= \dfrac{1}{2}(sdAN+sdCM)$(góc có đỉnh bên trong đường tròn) , $\widehat{FBC}=\dfrac{1}{2}(sdAM+sdCM) \Rightarrow sdAN=sdAM$.
Phần sau bạn CM hoàn toàn hợp lý ! Chúng ta có thể khỏi sử dụng định lý đảo nếu đã chứng minh được $ \widehat{ANH}= \widehat{NDH}$ như ý tưởng của bạn Cartooboy !
Thật đấy : Ta kẻ thêm đường kính NK của đường tròn(NHD)$ \Rightarrow \widehat{NHK}=90^0 \Rightarrow\widehat{NKH}+ \widehat{HNK}=90^0 $ Mà $ \widehat{NKH}= \widehat{NDH}$(Cùng chắn cung NH)$ \Rightarrow\widehat{NKH}=\widehat{ANH} \Rightarrow \widehat{ANH}+ \widehat{HNK}=90^0 \Rightarrow AN \perp NK$.(đpcm)

[cartoonboy]

Chúc mừng bạn Cartoonboy ! Bạn đã tìm ra đáp án ! Bạn thật giỏi ! Nhưng bạn chứng minh cung AN= cung AM hơi dài !Theo mình thì có thể làm thế này :
Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp $ \Rightarrow \widehat{FEA}= \widehat{FBC}$(góc ngoài của tứ giác nội tiếp).
Mà$ \widehat{FEA}= \dfrac{1}{2}(sdAN+sdCM)$(góc có đỉnh bên trong đường tròn) , $\widehat{FBC}=\dfrac{1}{2}(sdAM+sdCM) \Rightarrow sdAN=sdAM$.
Phần sau bạn CM hoàn toàn hợp lý ! Chúng ta có thể khỏi sử dụng định lý đảo nếu đã chứng minh được $ \widehat{ANH}= \widehat{NDH}$ như ý tưởng của bạn Cartooboy !
Thật đấy : Ta kẻ thêm đường kính NK của đường tròn(NHD)$ \Rightarrow \widehat{NHK}=90^0 \Rightarrow\widehat{NKH}+ \widehat{HNK}=90^0 $ Mà $ \widehat{NKH}= \widehat{NDH}$(Cùng chắn cung NH)$ \Rightarrow\widehat{NKH}=\widehat{ANH} \Rightarrow \widehat{ANH}+ \widehat{HNK}=90^0 \Rightarrow AN \perp NK$.(đpcm)

Cám ơn bạn KhaiTam rất nhiều. Bạn đã giúp mình biết thêm những cách ngắn gọn và hay hơn !

[vu trong quang]

các bạn lần sau có thì vẽ hình hộ cái nha