Chủ đề này có 2 trả lời

[No Problem]

Cho $a,b,c\ge 0 $; min{a+b,b+c,c+a}>0.ch/m:
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\dfrac{c}{a+b}}\ge \ 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi No Problem: 13-06-2009 - 10:59

[Hero Math]

Sử dụng BĐT:$ (x+y)^{a}\leq x^{a}+y^{a} $ với $ a\leq 1$

[No Problem]

Cho $a,b,c\ge 0 $; min{a+b,b+c,c+a}>0.ch/m:
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\dfrac{c}{a+b}}\ge \ 2$

Đây là lời giải
Đặt $\sqrt[n]{a}=\sqrt{p}$;$\sqrt[n]{b}=\sqrt{q}$;$\sqrt[n]{c}=\sqrt{r}$
$\rightarrow\ a^2=p^n;b^2=q^n;c^2=r^n$
Ta sẽ chứng minh
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{p}{q+r}}$
$\leftrightarrow\ (q+r)^n\ge \ (b+c)^2$
$\leftrightarrow\ q^n+r^n+np^{n-1}q+npq{n-1}+...\ge \ b^2+c^2+2bc$
Ta có $n.pq(p^{n-2}+q^{n-2})\ge \ 2n.pq.\sqrt{(pq)^{n-2}}=2n.bc\ge \ 2bc$
=>đpcm
p/s:ai còn cách khác post lên mọi người tham khảo,Heromath post lời giải sử dụng bdt phụ đó lun đi,mà nhìn bdt phụ đó lạ