cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$
Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
#521
Đã gửi 01-12-2013 - 09:53
#522
Đã gửi 01-12-2013 - 12:19
cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$
Dễ thấy $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 3$
Vì thế cho $a=b\rightarrow 0,c\rightarrow +\infty \Rightarrow \sum \frac{c}{a+b}\rightarrow +\infty$
BĐT đã cho sai !!!
#523
Đã gửi 02-12-2013 - 20:30
cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$
Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$
Giả sử $a\leq b\leq c$
Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu
AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#524
Đã gửi 02-12-2013 - 20:38
Chứng minh với mọi $a;b;c>0$ thì:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$
Issac Newton
#525
Đã gửi 03-12-2013 - 17:01
Chứng minh với mọi $a;b;c>0$ thì:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$
Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (1)
Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại
Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$
Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
- Trang Luong yêu thích
#526
Đã gửi 03-12-2013 - 17:08
Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$
Giả sử $a\leq b\leq c$
Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu
AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm
Đây không phải là bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên không thể xét $a \geqslant b \geqslant c$ được
Nói cách khác, còn tùy vào các giá trị $a,b,c$ thì mới xét được dấu bất đẳng thức
#527
Đã gửi 03-12-2013 - 19:14
Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (1)
Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại
Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$
Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
Cái này chứng minh như thê nào ạ
- babystudymaths, Vu Thuy Linh và Le Thi Van Anh thích
Issac Newton
#528
Đã gửi 03-12-2013 - 19:32
Cho a,b,c >0 thoả mãn: a$^{2}$ + b$^{2}$ +c$^{2}$=3.Chứng minh:
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}$+$\frac{b}{b^{2}+2c+3}$+$\frac{c}{c^{2}+2a+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
#529
Đã gửi 03-12-2013 - 19:39
Cho a,b,c>0 thoả mãn: abc=1. C/m:
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$+$\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}$+$\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}$$\geq$$\frac{1}{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 09-12-2013 - 15:59
#531
Đã gửi 05-12-2013 - 13:57
CMR: a$_{}$na$_{}$n-1........................a$_{}$2a$_{}$1$/$$a_{}$n+a$_{}$n-1+.......+a$_{}$2+a$_{}$1$\leqslant$10$^{}$n-1 với n$\epsilon$N, n$\leqslant$2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Key 99: 05-12-2013 - 14:21
Cuộc sống không phải là một cuộc chạy đua, nó là một cuộc hành trình mà bạn có thể tận hưởng từng bước khám phá.
I LOVE MATH
#532
Đã gửi 09-12-2013 - 22:16
Cho a,b,c>0 thoả mãn: abc=1. C/m:
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$+$\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}$+$\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}$$\geq$$\frac{1}{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
$\left ( \sum \sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{ab+b+1} \right )^{2}$$\leq$$\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{(ab+b+1)^{2}} \right )$
Mặt khác: $\sum \frac{a}{ab+b+1}= 1$ (vì abc=1)
Do đó:$\frac{1}{a+b+c}\leq \sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$a=b=c=1
#533
Đã gửi 09-12-2013 - 22:40
Cho $a, b, c > 0.$ Cmr $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{a^2 + b^2 + c^2}} \geq 3 + \sqrt{3}$
- Le Thi Van Anh yêu thích
"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,
Núi Côn, ta đến cận kề người xưa
Nhà tranh một mái che mưa
Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm
Rượu đào nâng chén rót tràn,
Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."
Thi-tân
#534
Đã gửi 11-12-2013 - 08:31
Cho a $\geq$ 4, b $\geq$ 5, c$\geq$ 6 thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 90$
CMR: a+b+c$\geq$ 16
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 11-12-2013 - 08:32
#535
Đã gửi 11-12-2013 - 08:36
Cho a,b,c >0. Tìm max:
P= $\sum \frac{b+c}{a+ \sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 11-12-2013 - 09:17
#536
Đã gửi 11-12-2013 - 15:09
Cho a,b,c >0. Tìm max:
P= $\sum \frac{b+c}{a+ \sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}$
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Rightarrow 4\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq \left ( a+b \right )^{3}$
$P=\sum \frac{b+c}{a+\sqrt[3]{4\left ( a^{3}+b^{3} \right )}}\leq \sum \frac{b+c}{a+b+c}=2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#537
Đã gửi 11-12-2013 - 18:09
1. Cho $\left\{\begin{matrix}a<b<c & & \\ a+b+c=6 & & \\ ab+bc+ac=9 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $a<1<b<3<c<4$
2. Chứng minh với $n\epsilon \mathbb{N}*,n>1$ thì
$\sqrt{2}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{4^{3}}+...+\sqrt{(n+1)^{n}}<(n+1)!$
3.Cho $x,y\geq 0$
Tìm min,max của $P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}$
4.Cho $x,y\epsilon \mathbb{N}^{*}$
Chứng minh :Nếu$\sqrt{7}-\frac{x}{y}> 0$ thì $\sqrt{7}-\frac{x}{y}> \frac{1}{xy}$
Mời mọi người "dùng bữa"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi saophaixoan1109: 13-12-2013 - 11:04
- yeutoanhoc01 yêu thích
๖ۣۜNếu ๖ۣۜBạn ๖ۣۜMuốn ๖ۣۜGiàu ๖ۣۜThì ๖ۣۜChẳng ๖ۣۜNhững ๖ۣۜBạn ๖ۣۜPhải ๖ۣۜHọc ๖ۣۜCách ๖ۣۜLàm ๖ۣۜRa
๖ۣۜTiền ๖ۣۜMà ๖ۣۜCòn ๖ۣۜPhải ๖ۣۜHọc ๖ۣۜCách ๖ۣۜSử ๖ۣۜDụng ๖ۣۜĐồng ๖ۣۜTiền
#538
Đã gửi 11-12-2013 - 19:10
Cho x,y dương thỏa x+y=1.Tìm min:$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$
(Cho 3 số thì mình còn biết,2 số thì thua)
ĐANG DỐT,CẦN HỌC HỎI NHIỀU
#539
Đã gửi 11-12-2013 - 19:16
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
CM:ab+bc+ca$\leq$$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skydragon0: 13-12-2013 - 17:56
ĐANG DỐT,CẦN HỌC HỎI NHIỀU
#540
Đã gửi 11-12-2013 - 20:43
Cho x,y dương thỏa x+y=1.Tìm min:$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$
(Cho 3 số thì mình còn biết,2 số thì thua)
$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{9}{x+y}$
- babystudymaths, Vu Thuy Linh và skydragon0 thích
Issac Newton
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh