Bài toán này
supermember đã cho ta thấy "sức mạnh" của tích phân và số phức trong việc tính tổng tổ hợp.
Sau đây, mình xin làm một cách khác cho thấy "sức mạnh" của
kỹ thuật tính tổng và
sai phân từng phần cũng không phải là vừa!
$A=\sum_{k=0}^{2n}\left[(-1)^k\dfrac{C_{4n}^{2k}}{C_{2n}^k}\right]$
$A=2-4n+\sum_{k=0}^{2n-2}\left[(-1)^k\dfrac{C_{4n}^{2k}}{C_{2n}^k}\right]\quad$ (tính riêng $2$ số hạng cuối)
$A=2-4n+\sum_{k=0}^{2n-2}\left[\dfrac{(-1)^k(4n-1)(4n-3)}{(4n-1-2k)(4n-3-2k)}\dfrac{C_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]$
Thay $k$ bởi $2n-2-k$ (
đảo chiều) ta được
$A=2-4n+\sum_{k=0}^{2n-2}\left[\dfrac{(-1)^k(4n-1)(4n-3)}{(2k+3)(2k+1)}\dfrac{C_{4n-4}^{4n-4-2k}}{C_{2n-2}^{2n-2-k}}\right]$
$A=2-4n+\dfrac{(4n-1)(4n-3)}{2}\sum_{k=0}^{2n-2}\left[\dfrac{2.(-1)^k}{(2k+3)(2k+1)}\dfrac{C_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]$
$A=2-4n+\dfrac{(4n-1)(4n-3)}{2}.B$
Trong đó
$B=\sum_{k=0}^{2n-2}\left[\dfrac{2.(-1)^k}{(2k+3)(2k+1)}.\dfrac{C_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]$
$B=\dfrac{2}{(4n-1)(4n-3)}+\sum_{k=0}^{2n-3}\left[\dfrac{2.(-1)^k}{(2k+3)(2k+1)}.\dfrac{C_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]\quad$ (tính riêng số hạng cuối)
$B=\dfrac{2}{(4n-1)(4n-3)}+C$
Với $C=\sum_{k=0}^{2n-3}\left[\dfrac{2.(-1)^k}{(2k+3)(2k+1)}.\dfrac{C_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]$
Đặt
$\begin{cases}g(k)=\dfrac{(-1)^kC_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k} \\ \Delta f(k)=\dfrac{2}{(2k+3)(2k+1)}=\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\Delta g(k)=-\dfrac{4n-4}{2k+1}.\dfrac{(-1)^kC_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k} \\ f(k)=-\dfrac{1}{2k+1}\end{cases}$
Áp dụng
sai phân từng phần ta được
$C=\dfrac{(-1)^{k+1}C_{4n-4}^{2k}}{(2k+1)C_{2n-2}^k}\Bigg|_{k=0}^{2n-2}-\sum_{k=0}^{2n-3}\left[\dfrac{1}{2k+3}.\dfrac{4n-4}{2k+1}.\dfrac{(-1)^kC_{4n-4}^{2k}}{C_{2n-2}^k}\right]$
$\Rightarrow C=-\dfrac{1}{4n-3}+1-(2n-2)C$
$\Rightarrow C=\dfrac{4n-4}{(4n-3)(2n-1)}$
$\Rightarrow B=\dfrac{2}{(4n-1)(4n-3)}+\dfrac{4n-4}{(4n-3)(2n-1)}$
$\Rightarrow A=2-4n+\dfrac{(4n-1)(4n-3)}{2}\left[\dfrac{2}{(4n-1)(4n-3)}+\dfrac{4n-4}{(4n-3)(2n-1)}\right]$
$\Rightarrow \boxed{A=-\dfrac{1}{2n-1}}$
_______________________
Đôi khi kết quả không phải là tất cả ...