cho n là số nguyên dương. CMR phương trình sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3n
không có nghiệm x, y trên tập các số hữu tỷ dương
phương trình
Bắt đầu bởi chuyentoan, 11-06-2005 - 18:54
#1
Đã gửi 11-06-2005 - 18:54
chuyentoan
-
- Hiệp sỹ
-
- 1650 Bài viết
None
The only way to learn mathematics is to do mathematics
#2
Đã gửi 13-06-2005 - 22:23
pnt
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
bổ đề cần dùng: 
m,n 
N*,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m^2+n^2 
3 thì m,n 3
(chứng minh không khó)
giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ dương (x,y)
đặt x=a/b ; y=c/d
trong đó a,b,c,d là các số nguyên dương và (a,b)=(c,d)=1
ta có:
3n=a/b+b/a+c/d+d/c
3nabcd=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) 
suy ra http://dientuvietnam....cgi?ab(c^2 d^2) cd
mà (c,d)=1 nên (http://dientuvietnam....cgi?c^2 d^2,cd)=1,do đó: ab cd
do vai trò như nhau,ta cũng có cd ab
do vậy ab=cd
3abn=^2+(c-d)^2)
suy ra : a+b 3 và c-d 3
do vai trò như nhau nên ta cũng có: a-b 3 và c+d 3
do đó:a,b,c,d 3
điều này vô lý.Như vậy phương thình đã cho không thể có nghiệm hữu tỉ dương
m,n N*,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m^2+n^2 3 thì m,n 3(chứng minh không khó)
giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ dương (x,y)
đặt x=a/b ; y=c/d
trong đó a,b,c,d là các số nguyên dương và (a,b)=(c,d)=1
ta có:
3n=a/b+b/a+c/d+d/c
3nabcd=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) suy ra http://dientuvietnam....cgi?ab(c^2 d^2)
cdmà (c,d)=1 nên (http://dientuvietnam....cgi?c^2 d^2,cd)=1,do đó: ab
cddo vai trò như nhau,ta cũng có cd
abdo vậy ab=cd
3abn=suy ra : a+b
3 và c-d 3do vai trò như nhau nên ta cũng có: a-b
3 và c+d 3do đó:a,b,c,d
3điều này vô lý.Như vậy phương thình đã cho không thể có nghiệm hữu tỉ dương
độc lập ,tự do muôn năm!!!!!!!!!!!!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
