Chủ đề này có 4 trả lời

[phuc_90]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $ a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng : $ \dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{bc}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{ca}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{9}{abc} \geq 12 $

[tuan101293]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $ a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng : $ \dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{bc}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{ca}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{9}{abc} \geq 12 $

bài này nhìn có vẻ kinh nhưng ko khó lắm
ta có
$ \dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}+(a^2-ab+b^2)\ge 2\sqrt{ab}$
suy ra $\sum \dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge 2\sum \sqrt{ab}+\sum ab-6$
suy ra $VT\ge \sum ab+2\sum \sqrt{ab}+\dfrac{9}{abc}-6$
chú ý rằng
$\sum (ab)+\dfrac{2}{abc}\ge 5$
$2(\sum \sqrt{ab}+\dfrac{1}{abc})\ge 8 $
$\dfrac{5}{abc}\ge 5$
$-6=-6$
cộng các bdt và đẳng thức trên lại ta có ĐPCM

[Toanlc_gift]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $ a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng : $ \dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{bc}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{ca}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{9}{abc} \geq 12 $

xài AM-GM với 12 số:
$VT \ge \dfrac{{12}}{{\sqrt[{12}]{{{a^7}{b^7}{c^7}({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})({c^2} - ac + {a^2})}}}}$
chú ý rằng:
$ab({a^2} - ab + {b^2})bc({b^2} - bc + {c^2})ca({c^2} - ac + {a^2}) \le \dfrac{{{{({a^2} + {b^2})}^2}{{({b^2} + {c^2})}^2}{{({c^2} + {a^2})}^2}}}{{{4^3}}} \le 1$
và $abc \le 1$
từ đó suy ra đpcm
dựa vào cách này thì ta có thể làm mạnh nó thêm một chút,thay cái $\dfrac{9}{abc}$ bởi $\dfrac{4}{abc}$
****************************
cách của tôi cũng có thể làm mạnh mà .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 09-07-2009 - 12:54

[phuc_90]

Lời giài đẹp đấy Toanlc_gift . Thực ra mình chỉ sử dụng bdt AM-GM để st thui ...@@..
Còn đây là 1 bài của mình đã lâu rùi mà chưa có lời giải xin các bác giúp đỡ .
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 09-07-2009 - 13:46

[mai quoc thang]

Còn đây là 1 bài của mình đã lâu rùi mà chưa có lời giải xin các bác giúp đỡ .
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \leq 3$

Try $ a=1 \ ; \ \ b=\sqrt[3]{0,9}\ ; \ \ c=\sqrt[3]{1,1} $