Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Tìm tất cả các hàm $f$ xác đính trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ thì 3 số sau là ba cạnh của một tam giác:
$a,f(b),f(b+f(a)-1)$

[H.Quân- ĐHV]

Tìm tất cả các hàm $f$ xác đính trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ thì 3 số sau là ba cạnh của một tam giác:
$a,f(b),f(b+f(a)-1)$

Em trình bày hơi tắt ,mong mọi người thông cảm.
bộ 3 cạnh ta sẽ kí hiệu$ (a,f(b),f(b+f(a)-1) )$

thế $a=1 \Rightarrow (1,f(b),f(b+f(1)-1) )$ khi đó $f(b)+1 > f(b+f(1)-1) > f(b)-1$. nên $ f(b)=f(b+f(1)-1).$
ta Cm f(1)=1.
thật vậy thế $a = a+f(1)-1$ ta có bộ$ ( a+f(1)-1, f(b), f(b+f(a)-1) ) $(do $ f(a)=f(a+f(1)-1).$ ) tương tự ta có bộ $( a+k(f(1)-1), f(b), f(b+f(a)-1) ) $khi đó $f(b) + f(b+f(a)-1) > a+k(f(1)-1) $từ đây suy ra$ f(1)=1.$
thế$ b=1$ ta có bộ$ (a,1,f(f(a)) ) $từ đó suy ra$ f(f(a))=a $.Nên tồn tại $x_0 .$để$ f(x_0)=2.$
thế $a=2,b=x_0$ khi đó $( 2,2, f(x_0+f(2)-1) ) $nên $4> f(x_0+f(2)-1) >0$ .Xét các TH.
-) $f(x_0+f(2)-1) =1=f(1)$ suy ra$ x_0 + f(2) = 2 $mà $x_0 >1 $và $ f(2) > 1 $mẫu thuẫn
-)$ f(x_0+f(2)-1) = 2 =f(x_0) $suy ra $f(2)=1$ mẫu thuẫn
vậy $f(x_0+f(2)-1)=3$. Cm quy nạp ta có$ f(x_0+f(n)-1)=n+1$
$f(f(x_0+f(n)-1))=f(n+1) $nên $f(n+1)= x_0+f(n)-1 $nên $f(n+1)=nt+1 $( ở đây $x_0-1=t$) .từ đây suy ra $n+1=f(f(n+1))=f(nt+1)=nt^2+1$ vậy $t=1$ (t=0 thì thấy vô lí)
KL $f(n)=n.$