Chủ đề này có 9 trả lời

[dkimson]

Mình có bài B Đ T vui này mọi người làm thử

Giả sử a.b.c là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$, khi đó

$a^{a+c} \cdot b^{b+a} \cdot c^{c+b} \le 1 $

__________________________________________________________

Còn mấy bài kiểu này nữa, mọi người xem tại trang forum.mathscope.org ấy

[AnSatTruyHinh]

Không mất tính tổng quát,giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$.
$ \Rightarrow (a-b)(lga-lgb) \geq 0$
$ \Rightarrow (b-c)(lgb-lgc) \geq 0$
$ \Rightarrow (c-a)(lgc-lga) \geq 0$
$ \Rightarrow 3(alga+blgb+clgc) \geq a(lga+lgb+lgc)+b(lga+lgb+lgc)+c(lga+lgb+lgc)$
$ \Leftrightarrow 3lg(a^a.b^b.c^c) \geq (a+b+c)lg(abc)$
$ \Leftrightarrow a^a.b^b.c^c \geq (abc)^{ \dfrac{a+b+c}{3}}$
Vậy $a^{b+c}.b^{c+a}.c^{a+b} = \dfrac{a^3.b^3.c^3}{a^a.b^b.c^c} \leq \dfrac{(abc)^3}{(abc)^{\dfrac{a+b+c}{3}}} \leq 1$

[phuc_90]

Đây là bdt hoán vị chứ có phải đối xứng đâu mà chỉ xét có 1 trường hợp thế .
Với lại lời giải trên chỉ đúng cho trường hợp 2 số cùng lớn hơn bằng 1...còn trường hợp 2 số cùng bé hơn bằng 1 thì sao >> chắc chắn lời giải trên sai.
Đây là bài toán trên tạp chí THTT mà. Các bạn xem lời giải trên tạp chí ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 25-07-2009 - 08:40

[thuylinhbg]

Bài này hoán vị chứ có đối xứng đâu.
Nếu xét vậy thì chỉ đúng có 1 trường hợp thui...còn trường hợp $ c\geq b \geq a\geq 0$ bạn giải sao ???

e chưa học tới phần này nhưng cũng muốn hỏi hoán vị thì ntn?đối xứng ntn?

[thuylinhbg]

Bài này hoán vị chứ có đối xứng đâu.
Nếu xét vậy thì chỉ đúng có 1 trường hợp thui...còn trường hợp $ c\geq b \geq a\geq 0$ bạn giải sao ???

e thấy vai trò a ,bc bình đảng như zay hoán vị và đối xứng đều đúng cả mà

[hung0503]

her, lạ nhỉ bài này một lần dc đăng rồi mà
Cho $ n \in Z, n \geq2 , x_1,x_2,......,x_n >0$
Cm: $(x_1x_2...x_n)^ \dfrac{x_1+x_2+....+x_n}{n} \leq x_1^{x_1} x_2^{x_2}.....x_n^{x_n} $
p/s: ko biết cái $ lnx_1, lnx_2,....,lnx_n $là j nhỉ????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 25-07-2009 - 09:32

[vuthanhtu_hd]

p/s: ko biết cái $ lnx_1, lnx_2,....,lnx_n $là j nhỉ????

ln là logarit tự nhiên hay logrit nepe $e^x=a>0$ thì $x=lna$

[Toanlc_gift]

e chưa học tới phần này nhưng cũng muốn hỏi hoán vị thì ntn?đối xứng ntn?

hoán vị tức là đặt $f(a;b;c)=VT-VP$
thì khi đó$f(a;b;c)=f(b;c;a)=f(c;a;b)$
các biến cứ đổi chỗ vòng quanh cho nhau

e thấy vai trò a ,bc bình đảng như zay hoán vị và đối xứng đều đúng cả mà

các biến không có vai trò như nhau đâu,nếu có vai trò như nhau thì
$f(a;b;c)=f(b;a;c)$
nhưng khi thay vào thì không đúng=>nó là hoán vị
nếu như các biến có vai trò như nhau thì em cứ việc đổi chỗ linh tinh cho nó thì cũng được cái ban đầu
còn nếu hoán vị thì chỉ đổi chỗ vòng quanh nó mới đc cái ban đầu
giải thích như vậy chắc dễ hiểu rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 25-07-2009 - 11:26

[AnSatTruyHinh]

Mình chỉ sắp xếp biến khi cm bổ đề (cái này thi dc chứ) --> bổ đề đúng với mọi a,b,c-->áp dụng vào bài tập (luc này không cần sắp xếp nữa)--> sai ở đâu mong các bác chỉ giáo
"Với lại lời giải trên chỉ đúng cho trường hợp 2 số cùng lớn hơn bằng 1...còn trường hợp 2 số cùng bé hơn bằng 1 thì sao >> chắc chắn lời giải trên sai."
Chỗ này mình không hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnSatTruyHinh: 25-07-2009 - 17:02

[dkimson]

Mình chỉ sắp xếp biến khi cm bổ đề (cái này thi dc chứ) --> bổ đề đúng với mọi a,b,c-->áp dụng vào bài tập (luc này không cần sắp xếp nữa)--> sai ở đâu mong các bác chỉ giáo
"Với lại lời giải trên chỉ đúng cho trường hợp 2 số cùng lớn hơn bằng 1...còn trường hợp 2 số cùng bé hơn bằng 1 thì sao >> chắc chắn lời giải trên sai."
Chỗ này mình không hiểu

________---
Đây rõ ràng là mình sáng tác ra mà! (có thể trùng ở đâu đó).Và mình xin trình lời giải như sau
Bài toán tương đương với bài toán sau: Cho $a,b,c $ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
Khi đó
$a^{a^2+c^2} \cdot b^{b^2+a^2} \cdot c^{c^2+b^2} \le 1$
Hay $(\dfrac{1}{ab})^{a^2} \cdot (\dfrac{1}{bc})^{b^2} \cdot (\dfrac{1}{ca})^{c^2} \ge 1$
Áp dụng BĐT Jensen cho hàm số lồi $xlnx$,
Ta có
$\dfrac{a^3}{ab} ln \dfrac{1}{ab}+\dfrac{b^3}{bc} ln \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{c^3}{ca} ln \dfrac{1}{ca} \ge (a^2+b^2+c^2) ln(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab^3+bc^3+ca^3})$
Mà $9=(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(ab^3+bc^3+ca^3)$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dkimson: 30-07-2009 - 16:16