Chủ đề này có 15 trả lời

[mai quoc thang]

Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thõa mãn : $ a + b + c = 3 $ .

Chứng minh :

$ \dfrac {7a^2 + 9}{b^2 + c^2} + \dfrac {7b^2 + 9}{c^2 + a^2} + \dfrac {7c^2 + 9}{a^2 + b^2}\ge 24 $

[123455]

Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thõa mãn : $ a + b + c = 3 $ .

Chứng minh :

$ \dfrac {7a^2 + 9}{b^2 + c^2} + \dfrac {7b^2 + 9}{c^2 + a^2} + \dfrac {7c^2 + 9}{a^2 + b^2}\ge 24 $

Bài nè mình mới nghĩ ra kiểu trâu bò rồi dùng ĐK đề bài done!
mệt òy.....chả dám latex nữa....

[thegioitoanhoc]

tách mỗi tử số thành là $ a^2+9+6a^2$ .
Dùng BCS +pqr ta Chứng minh được :
$ \sum \dfrac{a^2+9}{b^2+c^2}\ge 15 $
suy ra dpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thegioitoanhoc: 03-08-2009 - 19:17

[mai quoc thang]

Bài nè mình mới nghĩ ra kiểu trâu bò rồi dùng ĐK đề bài done!
mệt òy.....chả dám latex nữa....

Cậu nên post lời giải lên

Dùng BCS +pqr ta Chứng minh được :
$ \sum \dfrac{a^2+9}{b^2+c^2}\ge 10 $
suy ra dpcm .

Bất đẳng thức này đẳng thức xảy ra ở đâu hả cậu ???

Tớ nghĩ ý cậu là : $ \sum \dfrac{a^2+9}{b^2+c^2}\ge 15 $ ???

Cậu thử với : $ a=b=\dfrac{3}{2};c=0 $ xem nhá

[thegioitoanhoc]

dạ 15 ạ , em đánh nhầm . Tai hại quá

[mai quoc thang]

dạ 15 ạ , em đánh nhầm . Tai hại quá

Tớ nghĩ ý cậu là : $ \sum \dfrac{a^2+9}{b^2+c^2}\ge 15 $ ???

Cậu thử với : $ a=b=\dfrac{3}{2};c=0 $ xem nhá

Cậu chưa tin phản ví dụ này thì cậu thử với a=1,4 ; b=1,49 ; c=0,11 thử xem sao

[thegioitoanhoc]

thế lời giải chắc là ko cần tách mà là BCS trực tiếp rồi !
Xong sử dụng cái sau để xử lý r :
$r \ge \dfrac{(12-3q)^2(6q-15)}{27} $
Với q=ab+bc+ca nhé .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thegioitoanhoc: 04-08-2009 - 09:45

[vo thanh van]

Mới nhìn qua mình có cái hướng thế này,cộng mỗi vế thêm 21,ta có cần chứng minh:
$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{45}{7(a^2+b^2+c^2)+9}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^2+b^2}=\sum \dfrac{c^2}{a^2c^2+b^2c^2}\ge \dfrac{9}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
Như vậy ta cần chứng minh $7(a^2+b^2+c^2)+9\ge 10(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow -10q^2-14q+60r+72\ge 0$
Đến đoạn này xét 2 TH của q và khảo sát chắc là ok

@mai quoc thang: Nhìn cái lời giải bằng SOS của anh bên Mathlinks khiếp quá

[thegioitoanhoc]

cái đánh giá r mà em ghi ra ở trên là chặt cho r ( nó chặt hơn cái $p^3-4pq+3r$ )
Xong thế vào dc 1 hàm bậc 3 theo q . khi đó ngồi phân tích đã thức thành nhân tử là ok .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thegioitoanhoc: 05-08-2009 - 06:57

[mai quoc thang]

Như vậy ta cần chứng minh $7(a^2+b^2+c^2)+9\ge 10(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Đến đoạn này xét 2 TH của q và khảo sát chắc là ok

@mai quoc thang: Nhìn cái lời giải bằng SOS của anh bên Mathlinks khiếp quá

Are you sure ???

Try : $ a=b=\dfrac{3}{2};c=0 $

[vo thanh van]

Ok,em thử lại lời giải sau
Từ giả thiết $a+b+c=3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge 3$
Ta cần chứng minh:$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge \dfrac{45}{7(a^2+b^2+c^2)+9}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^2+b^2}=\sum \dfrac{c^4}{a^2c^4+b^2c^4}\ge \sum \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-3a^2b^2c^2}$
Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$,ta cần chứng minh
$\dfrac{(9-2q)^2}{(9-2q)(q^2-6r)-3r^2}\ge \dfrac{45}{7(9-2q)+9}$
Oài,đến đoạn này em nghĩ là quy đồng rồi lại xét hàm là ok,mệt quá rùi

[thegioitoanhoc]

Nói chung với dạng này , khó nhất là phần xử lý r . Hay dùng cái đánh giá chặt cho r mà hình như đã có chuyên đề nói về cái này .

[vo thanh van]

Nói chung với dạng này , khó nhất là phần xử lý r . Hay dùng cái đánh giá chặt cho r mà hình như đã có chuyên đề nói về cái này .

Một năm rồi cũng không để ý mấy,em tìm lại và post bài viết đó lên đây được không?thanks trước nhé!

[thegioitoanhoc]

Đây bác :

File gửi kèm

•  article_bdt.pdf   217.25K   226 Số lần tải

[Toanlc_gift]

Cho các số thực không âm $ a,b,c $ thõa mãn : $ a + b + c = 3 $ .

Chứng minh :

$ \dfrac {7a^2 + 9}{b^2 + c^2} + \dfrac {7b^2 + 9}{c^2 + a^2} + \dfrac {7c^2 + 9}{a^2 + b^2}\ge 24 $

này thì trâu bò:
đưa về đồng bậc và khai triển,bđt tương đương với:
$8\sum {{a^6}} + 2\sum {ab({a^4} + {b^4}) - 13\sum {{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2})} + 6\sum {{a^3}{b^3}} } + 2abc\sum {{a^3}} + 6abc\sum {ab(a + b)} - 18{a^2}{b^2}{c^2} \ge 0$

xét khai triển:
${\left[ {(a - b)(b - c)(c - a)} \right]^2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \sum {{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2})} - 2\sum {{a^3}{b^3}} - 2abc\sum {{a^3}} + 2abc\sum {ab(a + b)} - 6{a^2}{b^2}{c^2} \ge 0$
$\Leftrightarrow 3\sum {{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2})} - 6\sum {{a^3}{b^3}} - 6abc\sum {{a^3}} + 6abc\sum {ab(a + b)} - 18{a^2}{b^2}{c^2} \ge 0$
ta chỉ cần chứng minh:
$8\sum {{a^6}} + 2\sum {ab({a^4} + {b^4})} - 16\sum {{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2})} + 12\sum {{a^3}{b^3}} + 8abc\sum {{a^3}} \ge 0$
theo Schur thì:
$8\sum {{a^6}} + 8abc\sum {{a^3}} \ge 8\sum {ab({a^4} + {b^4})}$
còn lại là chứng minh
$10\sum {ab({a^4} + {b^4})} + 12\sum {{a^3}{b^3}} \ge 16\sum {{a^2}{b^2}({a^2} + {b^2})}$
hay:$\sum {{{(a - b)}^2}(5ab{{(a + b)}^2} - 8{a^2}{b^2}) \ge 0}$
các hệ số đều không âm nên ta cóa đpcm
đẳng thức tại tâm và tại biên

[vo thanh van]

Thêm 2 bài này nữa của Vasc cho luôn nhé
Problem : Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn
1) $ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng

$\dfrac{4a^2+3}{b^2+c^2}+\dfrac{4b^2+3}{c^2+a^2}+\dfrac{4c^2+3}{a^2+b^2}\ge \dfrac{21}{2}$

2)$abc=1$.Chứng minh rằng

$\dfrac{3a^2+1}{b^2+c^2}+\dfrac{3b^2+1}{c^2+a^2}+\dfrac{3c^2+1}{a^2+b^2}\ge 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 05-08-2009 - 17:26