Chủ đề này có 7 trả lời

[cry_cry]

1-Cho x,y,z dương thoa mãn x+y+z=1 . TIm MAx
$
\dfrac{x^2+1}{{y^2 + 1 }} + \dfrac{y^2+1}{{z^2 + 1 }} + \dfrac{z^2+1}{{x^2 + 1}} \
$
2- Cho a,b,c,d dương thỏa mãn a+b+c+abc=4. CM a+b+c ab+bc+ca
3- Vớivới 0 x 1 TIm Max
$ x(9sqrt{1+ x^2 } + 13sqrt{1- x^2}) $
4- CMR với a,b,c thực ta có:
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} +2abc +1 $ 2(ab+bc+ca)
5- CM với mọi a.b.c thực thì:
$(2+ a^{2} )(2+ b^{2} )( 2+ c^{2} )$ 9( ab+ bc+ca)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cry_cry: 23-08-2009 - 10:45

[dungbo_213]

1-Cho x,y,z dương thoa mãn x+y+z=1 . TIm MAx
$
\dfrac{x^2+1}{{y^2 + 1 }} + \dfrac{y^2+1}{{z^2 + 1 }} + \dfrac{z^2+1}{{x^2 + 1}} \
$
2- Cho a,b,c,d dương thỏa mãn a+b+c+abc=4. CM a+b+c ab+bc+ca
3- Vớivới 0 x 1 TIm Max
$ x(9sqrt{1+ x^2 } + 13sqrt{1- x^2}) $
4- CMR với a,b,c thực ta có:
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} +2abc +1 $ 2(ab+bc+ca)
5- CM với mọi a.b.c thực thì:
$(2+ a^{2} )(2+ b^{2} )( 2+ c^{2} )$ 9( ab+ bc+ca)

2) $c=\dfrac{4-a-b}{ab+1}$
thay vào là đc

3) điểm rơi COSI $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

4) $2abc+1 \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$
từ đây dễ cm đc bằng Schur

5) đặt $t=\dfrac{b+c}{2}$

[huyetdao_tama]

1-Cho x,y,z dương thoa mãn x+y+z=1 . TIm MAx
$
\dfrac{x^2+1}{{y^2 + 1 }} + \dfrac{y^2+1}{{z^2 + 1 }} + \dfrac{z^2+1}{{x^2 + 1}} \
$
2- Cho a,b,c,d dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4. CM a+b+c \geq ab+bc+ca $
3- Vớivới $0 \leq x \leq 1 $TIm Max
$ x(9sqrt{1+ x^2 } + 13sqrt{1- x^2}) $
4- CMR với a,b,c thực ta có:
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} +2abc +1 $ \geq 2(ab+bc+ca)
5- CM với mọi a.b.c thực thì:
$(2+ a^{2} )(2+ b^{2} )( 2+ c^{2} )$ \geq 9( ab+ bc+ca)

Câu 1 đề chép sai. Các số thực không âm chứ không phải dương.

Có: $ P= \sum \dfrac{x^2+1}{y^2+1} = \sum x^2+3 - \sum \dfrac{y^2(x^2+1)}{y^2+1} $

Bởi ví hiển nhiên $0\leq x^2+1; y^2+1; z^2+1 \leq 2 $

$\Rightarrow P \leq \sum x^2+3 - \sum \dfrac{y^2(x^2+1)}{2} = \dfrac{ \sum x^2- \sum x^2y^2+6}{2} \leq \dfrac{7}{2} $ ( Vì dễ dàng thấy $\sum x^2- \sum x^2y^2=1- 2 \sum xy- \sum x^2y^2 \leq 1$)


Bài 2 có nhiếu cách giải. Đây là cách giải hay của anh Cẩn.

Để ý điều kiện ta đặt $a= \dfrac{2x}{ \sqrt{(x+y)(x+z)} } ; b= \dfrac{2y}{ \sqrt{(y+x)(y+z)} } ; c=\dfrac{2z}{ \sqrt{(z+x)(z+y)} } $

Đưa bài toán về Cm:

$2 \sum\dfrac{xy}{(x+y) \sqrt{x+y)(y+z)} } - 4 \dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)} \leq 1$

Mà theo AM-GM ta có:

$2 \sum\dfrac{xy}{(x+y) \sqrt{x+y)(y+z)} } \leq \sum \dfrac{xy}{x+y} ( \dfrac{1}{x+z} + \dfrac{1}{y+z} )=1+4 \dfrac{4xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyetdao_tama: 23-08-2009 - 15:37

[cry_cry]

Có ai làm trực tiếp không làm giùm cái

[vuthanhtu_hd]

1-Cho x,y,z dương thoa mãn x+y+z=1 . TIm MAx

4- CMR với a,b,c thực ta có:
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} +2abc +1 $ 2(ab+bc+ca)

Bài 4. Không mất tính tổng quát,giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$
Ta có
$a^{2}+ b^{2}+c^{2} +2abc +1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-c) \ge 0$
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 25-08-2009 - 09:26

[vuthanhtu_hd]

5- CM với mọi a.b.c thực thì:
$(2+ a^{2} )(2+ b^{2} )( 2+ c^{2} )$ 9( ab+ bc+ca)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt
$(a^2+2)(b^2+2)=(a^2+1)(b^2+1)+a^2+b^2+3 \ge (a+b)^2+\dfrac{1}{2}(a+b)^2+3=\dfrac{3}{2}((a+b)^2+2)$
Do đó
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge \dfrac{3}{2}((a+b)^2+2)(2+c^2) \ge \dfrac{3}{2}(\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c)^2=3(a+b+c)^2 \ge 9(ab+bc+ca)$

Với cách trên ta có kết quả mạnh hơn là $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 25-08-2009 - 09:53

[nguyen_ct]

với bài 4 ta cũng có 1 bài dạng giống như vây (hình như đã đưa lên rùi )
$a^2+b^2+c^2+2abc+3 \ge (a+1)(b+1)(c+1)$

[vuthanhtu_hd]

3- Vớivới 0 x 1 TIm Max
$ x(9sqrt{1+ x^2 } + 13sqrt{1- x^2}) $

Bài 3 dùng cân bằng hệ số cũng được,đây là đề thi Olympic 30/4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 26-08-2009 - 10:40