Chủ đề này có 4 trả lời

[hung0503]

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt BC,CA,AB tại D,E,F. Cm M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác DEF

[nguyenminhtrai]

Giả sử M là trọng tâm tam giác ABC thì D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.Gọi giao của FD và BE là K.
Ta có FE song song và bằng 1/2BC nên FE=BD nên EFDB là hình bình hành nên KE=KB mà ME=1/2MB nên ME=2MK(bạn phải tự tính 1 tý).Chứng minh tương tự ta được M là trọng tâm tam giác EFD.
Với M là trọng tâm tam giác EFD thì làm ngược lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenminhtrai: 29-08-2009 - 21:14

[hung0503]

Cách bạn hay thât nhưng tớ muốn làm bằng vectơ
gs M nằm trong tam giác ABC, tồn tạj a,b,c khác 0 sao cho $a. \vec{MA} +b.\vec{MB} +c.\vec{MC}=0$
tớ ko hiểu nếu ta xét phép chiếu vectơ phương BC lên đường thẳng AD thì ta có đc hê thức hay ko? Vì sao? $b.\vec{MB} +c. \vec{MC}=(b+c). \vec{MD}$ ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 05-09-2009 - 11:23

[apollo_1994]

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt BC,CA,AB tại D,E,F. Cm M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác DEF

$\vec{MA}+ \vec{MB}+\vec{MC}= \vec{MD}+ \vec{ME}+ \vec{MF} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi apollo_1994: 05-09-2009 - 11:09

[ncc_3tc]

Cách bạn hay thât nhưng tớ muốn làm bằng vectơ
gs M nằm trong tam giác ABC, tồn tạj a,b,c khác 0 sao cho $a. \vec{MA} +b.\vec{MB} +c.\vec{MC}=0$
tớ ko hiểu nếu ta xét phép chiếu vectơ phương BC lên đường thẳng AD thì ta có đc hê thức hay ko? Vì sao? $b.\vec{MB} +c. \vec{MC}=(b+c). \vec{MD}$ ko

lấy điểm O bất kì. Vì M nằm trong tam giác nên tồn tại các số a,b,c sao cho $\vec{OM}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}(1)(a,b,c >0, a+b+c=1)$
Chiếu lên BC theo phương MA ta có
$\vec{O'D}=a\vec{O'D}+b\vec{O'B}+c\vec{O'C}$
$\vec{OD}+\vec{O'O}=a\vec{OD}+b\vec{OB}+c\vec{OC}+(a+b+c)\vec{O'O}$
$\vec{OD}=a\vec{OD}+b\vec{OB}+c\vec{OC}$
$\vec{OD}= \dfrac{b}{1-a}\vec{OB}+ \dfrac{a}{1-a}\vec{OC}=\dfrac{b}{b+c}\vec{OB}+ \dfrac{a}{b+c}\vec{OC}$
Tương tự ta có$\vec{OE}=\dfrac{a}{a+c}\vec{OA}+ \dfrac{c}{a+c}\vec{OC}$
$\vec{OF}=\dfrac{c}{a+b}\vec{OA}+ \dfrac{b}{a+b}\vec{OB}$
Vì M là trọng tâm của DEF nên
$\vec{OM}= \dfrac{1}{3}( \vec{OE}+\vec{OF}+\vec{OD})$
$=\dfrac{1}{3}( \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+b})\vec{OA}+\dfrac{1}{3}( \dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b})\vec{OB}+\dfrac{1}{3}( \dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c})\vec{OC} (2)$
từ (1)và (2) ta có
$a= \dfrac{1}{3}( \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})$
$b= \dfrac{1}{3}( \dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b})$
$c= \dfrac{1}{3}( \dfrac{c}{c+b}+\dfrac{c}{a+c})$
a=b=c=1/3
M là trọng tâm