6 replies to this topic

[Nguyen Ngoc Thanh]

Bài 1:
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $ 3^{n} - 2^{n}$ chia hết cho n.
Bài 2:
Cho f:R->R*
Cho hàm số f(x) không giảm
Chứng minh rằng tồn tại số a sao cho $ f( a + \dfrac{1}{f(a)}) $ 2f(a)


Thử sức xem! Còn rất nhiều bài chúng ta chia sẻ tiếp!
Mình đã chỉnh sửa đầy đủ đk bài toán!

Edited by Nguyen Ngoc Thanh, 31-08-2009 - 18:30.

[phong than]

Bài 1. Giả $p$ là một ước nguyên tố nhỏ nhất của $3^n-2^n$.
Thì $(n,p-1)=1$.
Ta có:$(p,3)=(p,2)=1$ theo định lý Fermat:
$3^{p-1}-2^{p-1}\vdots p$.
Do đó: $p|3^{(n,p-1}-2^{(n,p-1)}=1$.
Điều này là vô lý suy ra $n=1$.
Bài 2. Vì $f(x)$ không giảm nên :
$f(a+\dfrac{1}{f(a)})\leq f(a)$.
$\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{f(a)}\leq a$.
$\Leftrightarrow f(a)<0$.
Không thể giải chỉ với điều kiện đã cho được!

Edited by phong than, 30-08-2009 - 15:53.

[Nguyen Ngoc Thanh]

Bài số 3: Số $ 10^{2008} $ được viết lên bảng. Hai người A và B chơi 1 trò chơi mà 2 người luân phiên thực hiện một trong 2 công việc sau:
i) Hoặc xóa đi số x và thay vào đó số tự nhiên a,b >1 mà x=a.b,
ii) Hoặc xóa đi một lượng tùy ý các số bằng nhau (nếu có ít nhất 2 số như vậy).
A là người chơi trước và không thể chơi tiếp là thua cuộc.
Hỏi ai sẽ là người thắng cuộc nếu cả 2 đều là những người thông minh!




(Hỏi nhỏ: phong than có thể giải thích cho tớ kĩ hơn bài toán số 1 không? Phần số học mình không giỏi lắm! Nhất là mấy cái định lý Fermat!)

Edited by Nguyen Ngoc Thanh, 31-08-2009 - 18:29.

[phong than]

(Hỏi nhỏ: phong than có thể giải thích cho tớ kĩ hơn bài toán số 1 không? Phần số học mình không giỏi lắm! Nhất là mấy cái định lý Fermat!)

Có một tính chất rất quen thuộc:
Nếu $(a,b)=1$ thì ta có:
$(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{(m,n)}-b^{(m,n)}$.

Edited by phong than, 31-08-2009 - 12:05.

[Nguyen Ngoc Thanh]

U Hieu roi`.Minh` cam on!

Con may bai` nua~ cac ban thu suc xem!

[tanlsth]

Giả sử $f(x+\dfrac{1}{f(x)})>2f(x)$ với mọi $x \in R$

Lấy $x_0>0$ bất kì. Xây dựng dãy $x_n=x_{n-1}+\dfrac{1}{f(x_{n-1})}$

Khi đó ta có $f(x_n)>2f(x_{n-1})>...>2^nf(x_0)$ suy ra
$x_n=\dfrac{1}{f(x_{n-1})}+\dfrac{1}{f(x_{n-2})}+...+\dfrac{1}{f(x_1)}+\dfrac{1}{f(x_0)}+x_0$
$<x_0+\dfrac{1}{f(x_0)}(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}})<x_0+\dfrac{2}{f(x_0)}$

Do đó $2^nf(x_0)<f(x_n)<f(x_0+\dfrac{2}{f(x_0)})$. Cho $n$ tiến tới vô cùng suy ra vô lý.

Vậy luôn tồn tại giá trị thỏa mãn

Edited by tanlsth, 31-08-2009 - 15:27.

[Nguyen Ngoc Thanh]

Cac' cau khong giai? tiep nua~ a`!