Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyen Ngoc Thanh]

Bài 1:
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $ 3^{n} - 2^{n}$ chia hết cho n.
Bài 2:
Cho f:R->R*
Cho hàm số f(x) không giảm
Chứng minh rằng tồn tại số a sao cho $ f( a + \dfrac{1}{f(a)}) $ 2f(a)


Thử sức xem! Còn rất nhiều bài chúng ta chia sẻ tiếp!
Mình đã chỉnh sửa đầy đủ đk bài toán!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Ngoc Thanh: 31-08-2009 - 18:30

[phong than]

Bài 1. Giả $p$ là một ước nguyên tố nhỏ nhất của $3^n-2^n$.
Thì $(n,p-1)=1$.
Ta có:$(p,3)=(p,2)=1$ theo định lý Fermat:
$3^{p-1}-2^{p-1}\vdots p$.
Do đó: $p|3^{(n,p-1}-2^{(n,p-1)}=1$.
Điều này là vô lý suy ra $n=1$.
Bài 2. Vì $f(x)$ không giảm nên :
$f(a+\dfrac{1}{f(a)})\leq f(a)$.
$\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{f(a)}\leq a$.
$\Leftrightarrow f(a)<0$.
Không thể giải chỉ với điều kiện đã cho được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 30-08-2009 - 15:53

[Nguyen Ngoc Thanh]

Bài số 3: Số $ 10^{2008} $ được viết lên bảng. Hai người A và B chơi 1 trò chơi mà 2 người luân phiên thực hiện một trong 2 công việc sau:
i) Hoặc xóa đi số x và thay vào đó số tự nhiên a,b >1 mà x=a.b,
ii) Hoặc xóa đi một lượng tùy ý các số bằng nhau (nếu có ít nhất 2 số như vậy).
A là người chơi trước và không thể chơi tiếp là thua cuộc.
Hỏi ai sẽ là người thắng cuộc nếu cả 2 đều là những người thông minh!




(Hỏi nhỏ: phong than có thể giải thích cho tớ kĩ hơn bài toán số 1 không? Phần số học mình không giỏi lắm! Nhất là mấy cái định lý Fermat!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Ngoc Thanh: 31-08-2009 - 18:29

[phong than]

(Hỏi nhỏ: phong than có thể giải thích cho tớ kĩ hơn bài toán số 1 không? Phần số học mình không giỏi lắm! Nhất là mấy cái định lý Fermat!)

Có một tính chất rất quen thuộc:
Nếu $(a,b)=1$ thì ta có:
$(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{(m,n)}-b^{(m,n)}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 31-08-2009 - 12:05

[Nguyen Ngoc Thanh]

U Hieu roi`.Minh` cam on!

Con may bai` nua~ cac ban thu suc xem!

[tanlsth]

Giả sử $f(x+\dfrac{1}{f(x)})>2f(x)$ với mọi $x \in R$

Lấy $x_0>0$ bất kì. Xây dựng dãy $x_n=x_{n-1}+\dfrac{1}{f(x_{n-1})}$

Khi đó ta có $f(x_n)>2f(x_{n-1})>...>2^nf(x_0)$ suy ra
$x_n=\dfrac{1}{f(x_{n-1})}+\dfrac{1}{f(x_{n-2})}+...+\dfrac{1}{f(x_1)}+\dfrac{1}{f(x_0)}+x_0$
$<x_0+\dfrac{1}{f(x_0)}(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}})<x_0+\dfrac{2}{f(x_0)}$

Do đó $2^nf(x_0)<f(x_n)<f(x_0+\dfrac{2}{f(x_0)})$. Cho $n$ tiến tới vô cùng suy ra vô lý.

Vậy luôn tồn tại giá trị thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 31-08-2009 - 15:27

[Nguyen Ngoc Thanh]

Cac' cau khong giai? tiep nua~ a`!