Chủ đề này có 4 trả lời

[Allnames]

Tồn tại hay ko hàm khả vi $f$ xác định trên tập các số dương và nhận giá trị ở đó thỏa mãn $f'(x)>f(f(x))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 01-09-2009 - 22:05

[phong than]

Tồn tại hay ko hàm khả vi $f$ xác định trên tập các số dương và nhận giá trị ở đó thỏa mãn $f'(x)>f(f(x))$

Cái này nói chưa rõ lắm, $f'(x)>f(f(x))$ với mọi $x$ hay với $x$ nào đó?

[tanlsth]

Dễ thấy hàm đồng biến. Ta có

$f(x+1)-f(x)=f'(t_x)>f(f(t_x))$ suy ra $f(x+1)>f(f(t_x)) \to x+1>f(t_x)$

Với $x<-1$ suy ra $f(t_x)<0$ suy ra vô lý

Vậy không tồn tại

[Allnames]

Phải là " với mọi x dương" nữa. MÌnh quên mất. Anh tanlsth cho x<-1 thì chưa đúng thì phải ạ!

[tanlsth]

Nếu thế thì ta làm thế này.

Ta có với $m>0$ thì

$f'(m)>f(f(m))>0, f(x)=f(m)+f'(t_m)(x-m)$

với $x>m, t_m \in (m,x)$ thì ta có $f(x) \to +\infty$

Lại có $f(x+1)-f(x)=f'(t_x)>f(f(t_x))>f(f(x)) $
$\to f(f(x))<f(x+1) \to f(x)<x+1$ với mọi $x>0$

Suy ra $f(m)+f(f(m))(x-m)<f(m)+(x-m)f(f(t_m))$
$<f(m)+f'(t_m)(x-m)=f(x)<x+1$.

Cho $x \to +\infty$ thì suy ra $f(f(m))<1$ với mọi $m>0$. Vô lý

Vậy không tồn tại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 05-09-2009 - 00:09