Chủ đề này có 2 trả lời

[ncc_3tc]

Cho a,b,c, là các số dương sao cho a+b+c 3/2. Tìm min
$ \sqrt{a^{2}+ \dfrac{1}{b^{2}} } +\sqrt{b^{2}+ \dfrac{1}{c^{2}} }+\sqrt{c^{2}+ \dfrac{1}{a^{2}} } $

[L_Euler]

Cho a,b,c, là các số dương sao cho a+b+c 3/2. Tìm min
$ \sqrt{a^{2}+ \dfrac{1}{b^{2}} } +\sqrt{b^{2}+ \dfrac{1}{c^{2}} }+\sqrt{c^{2}+ \dfrac{1}{a^{2}} } $

Áp dụng lần lượt : Minkowski và Svacso, ta được:

$\sqrt {a^2 + \dfrac{1}{{b^2 }}} + \sqrt {b^2 + \dfrac{1}{{c^2 }}} + \sqrt {c^2 + \dfrac{1}{{a^2 }}} \ge \sqrt {(a + b + c)^2 + (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})^2 } \ge \sqrt {(a + b + c)^2 + \dfrac{{81}}{{(a + b + c)^2 }}} $

Ta lại có:

$\sqrt {(a + b + c)^2 + \dfrac{{81}}{{(a + b + c)^2 }}} = \sqrt {(a + b + c)^2 + \dfrac{{81}}{{16(a + b + c)^2 }} + \dfrac{{1215}}{{16(a + b + c)^2 }}} \ge \sqrt {\dfrac{9}{2} + \dfrac{{1215}}{{16.\dfrac{9}{4}}}} = \dfrac{{\sqrt {153} }}{2}$

Xảy ra dấu = khi và chỉ khi $a=b=c=1/2$

[oong]

Cho a,b,c, là các số dương sao cho a+b+c 3/2. Tìm min
$ \sqrt{a^{2}+ \dfrac{1}{b^{2}} } +\sqrt{b^{2}+ \dfrac{1}{c^{2}} }+\sqrt{c^{2}+ \dfrac{1}{a^{2}} } $

Dùng svac ngay từ đầu:
$\sqrt {\left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{1}{4} + 4} \right)} \ge \dfrac{a}{2} + \dfrac{2}{a}\\
\Rightarrow \sqrt {\dfrac{{17}}{4}} \left( {\sqrt {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} + \sqrt {{b^2} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} + \sqrt {{c^2} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} } \right) \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} + 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} + \dfrac{{18}}{{a + b + c}}\\
\ge \left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} + \dfrac{9}{8}\dfrac{1}{{a + b + c}}} \right) + \dfrac{{135}}{{8\left( {a + b + c} \right)}} \ge 2\sqrt {\dfrac{9}{{16}}} + \dfrac{{135}}{{8.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{{51}}{4}\\
\Rightarrow \sqrt {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} + \sqrt {{b^2} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} + \sqrt {{c^2} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \ge \dfrac{{\dfrac{{51}}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{17}}{4}} }} = \dfrac{{3\sqrt {17} }}{2}\\$