Chủ đề này có 2 trả lời

[trịnh tình]

Chứng minh rằng
$\left( {1 + \dfrac{1}{{a_1 ^n }}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{a_2 ^n }}} \right)...\left( {1 + \dfrac{1}{{a_n ^n }}} \right) \ge \left( {\dfrac{{n^n + k^n }}{{k^n }}} \right)^n $
trong đó $a_1 ,a_2 ...a_n $ là các số dương thỏa mãn điều kiện $a_1 + a_2 + ... + a_n = k $
với $ n \ge 2,k > 0 $

[mai quoc thang]

Chứng minh rằng
$\left( {1 + \dfrac{1}{{a_1 ^n }}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{a_2 ^n }}} \right)...\left( {1 + \dfrac{1}{{a_n ^n }}} \right) \ge \left( {\dfrac{{n^n + k^n }}{{k^n }}} \right)^n $
trong đó $a_1 ,a_2 ...a_n $ là các số dương thỏa mãn điều kiện $a_1 + a_2 + ... + a_n = k $
với $ n \ge 2,k > 0 $

Trước hết theo Horder có :

$\left( {1 + \dfrac{1}{{a_1 ^n }}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{a_2 ^n }}} \right)...\left( {1 + \dfrac{1}{{a_n ^n }}} \right) \ge ( 1+\dfrac{1}{a_{1}a_{2}...a_n} )^{n} $

Tiếp theo là theo AM-GM có :

$ k=a_1+a_2+...+a_n \geq n \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_n} $

Từ hai điều đó ta có được điều phải chứng minh .

[trịnh tình]

Trước hết theo Horder có :

$\left( {1 + \dfrac{1}{{a_1 ^n }}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{a_2 ^n }}} \right)...\left( {1 + \dfrac{1}{{a_n ^n }}} \right) \ge ( 1+\dfrac{1}{a_{1}a_{2}...a_n} )^{n} $

Tiếp theo là theo AM-GM có :

$ k=a_1+a_2+...+a_n \geq n \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_n} $

Từ hai điều đó ta có được điều phải chứng minh .

Bài này mình tổng quát hóa từ bài T5/327 THTT. Có thể chỉ cần dùng bđt AM-GM để giải bài toán thì sẽ phù hợp hơn với học sinh THPT.Dùng Horder thì cho lời giải gọn hơn như bạn đã trình bầy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trịnh tình: 06-09-2009 - 19:09