Chủ đề này có 2 trả lời

[KhùngLãoQuái]

Hẳn chúng ta đã quá quen thuộc với số Catalan nổi tiếng : $ C_{k} = \dfrac{1}{k+1} C_{2k}^{k} $

Bài toán :

Hãy tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho :

$ u_n \ = \ \sum_{k=1}^{n} C_{k} \ \equiv \ 1 \ \ (mod \ \ 3 )$


Bài toán khó hơn :

Hãy giải bài toán nếu trên nếu yêu cầu đặt ra là $ u_n \ \equiv \ 0 \ \ (mod \ \ 3 )$ và $ u_n \ \equiv \ 2 \ \ (mod \ \ 3 )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 21-10-2009 - 16:40

[phong than]

Đầu tiên ta chắc làm thế này:
$u_{3k+2}\equiv u_{3k+3}\equiv u_{3k+4}(mod 3)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 08-09-2009 - 18:42

[supermember]

Không nhớ đã xem ở đâu cái lời giải này
Ta có :
$ \binom{2n+2}{n+1} \ - \ 4\binom{2n}{n} = \dfrac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n}$

$ = \dfrac{2(2n+1)}{n+1} \binom{2n}{n} - 4\binom{2n}{n} \ = \ \dfrac{-2}{n+1} \binom{2n}{n} $

$ \equiv -2 C_n \ \equiv \ C_n \ \equiv \ \binom{2n+2}{n+1} \ - \ \binom{2n}{n} \ \ (mod \ \ 3 )$

$ \Rightarrow C_n \ \equiv \ \binom{2n+2}{n+1} \ - \ \binom{2n}{n} \ \ (mod \ \ 3 ) $

$ \Rightarrow u_n \ \equiv \ \sum_{k=1}^{n} \left[ \binom{2k+2}{k+1} \ - \ \binom{2k}{k} \right] \equiv \ \ \binom{2n+2}{n+1} +1 (mod \ \ 3 ) $

Do đó $ u_n \ \equiv 1 (mod \ \ 3 ) \Leftrightarrow 3 | \binom{2n+2}{n+1} $

Theo định lý Kummer : nếu $p$ là số nguyên tố ; $n \in \mathbb{N^{*}} $ thì

$ p^{t} | \binom{n}{i} $ khi và chỉ khi $t$ không lớn hơn số lần nhớ trong phép cộng $i$ và $n-i$ trong hệ cơ số $p$

Áp dụng định lý này , ta thấy là $3 | \binom{2n+2}{n+1} $ khi và chỉ khi khi cộng $n+1$ với chính nó trong hệ cơ số $3$ thì có ít nhất $1$ lần có nhớ

Điều này xảy ra khi và chỉ khi trong biểu diễn tam phân của $n+1$ có ít nhất $1$ chữ số $2$

Nên để xét trường hợp $ u_n \ \equiv 0 (mod \ \ 3 ) $ chỉ cần xét khi trong biểu diễn tam phân của $n+1$ không có $1$ chữ số $2$ nào .

Áp dụng định lý $Lucas$ ta có khi $ a \ = \ \sum_{i=0}^{k} a_i p^{i} ;b \ = \ \sum_{i=0}^{k} b_i p^{i} $

với $ 0 \ \leq \ a_i ; b_ i $ ; $ a_i + b_i < p \ \ \forall i = 0;1;...; k $ thì

$ \binom{a+b}{a} \ \equiv \ \prod_{i=0}^{k} \binom{a_i + b_i}{a_i} \ \ (mod \ \ p)$

Áp dụng nhận xét này ; ta có : $\binom{2n+2}{n+1} \ \equiv \ 2^{h} \equiv (-1)^h \ \ (mod \ \ 3)$

Với $h$ là số chữ số $1$ trong biểu diễn tam phân của $n+1$

$ \Rightarrow 3 | u_n $ khi và chỉ khi $\binom{2n+2}{n+1} \equiv -1 \ \ (mod \ \ 3)$

Tức là $h$ là số nguyên dương lẻ .

Kết luận : $ u_n \ \equiv 0 (mod \ \ 3 ) $ khi và chỉ khi trong biểu diễn tam phân của $n+1$ không có chữ số $2$ nào và có $1$ số lẻ các chữ số $1$

Bài toán theo đó đã được giải quyết hoàn toàn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 11-09-2009 - 22:35