Chủ đề này có 14 trả lời

[nguyet.anh]

cho các số dương thỏa mãn $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$
CMR:$6(x+y+z) \ge 3(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyet.anh: 15-10-2009 - 17:13

[Janienguyen]

cho các số dương thỏa mãn $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$
CMR:$6(a+b+c) \ge 3(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2$

bạn coi lại đề đi!a,b,c ở đâu?

[nguyet.anh]

bạn coi lại đề đi!a,b,c ở đâu?

mình sử lại rồi đó

[mai quoc thang]

cho các số dương thỏa mãn $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$
CMR:$6(x+y+z) \ge 3(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2$

Với $ x=y=z=1 $ thì thấy là đề sai ngay

Lần sau post đề cẩn thận chút em nhá

[nguyet.anh]

Với $ x=y=z=1 $ thì thấy là đề sai ngay

Lần sau post đề cẩn thận chút em nhá

hì
em có nhầm chút ít
xin sửa lại đề như sau
cho các số dương thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=3abc$
CMR:$6(a+b+c) \ge 3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$

[hoangnbk]

hì
em có nhầm chút ít
xin sửa lại đề như sau
cho các số dương thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=3abc$
CMR:$6(a+b+c) \ge 3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$

Và đây là lời giải của nguyen_ct ( thằng này bận ko lên diễn đàn đc):
đặt $x^2= \dfrac{bc}{a} ; y^2 = \dfrac{ca}{b} ; z^2 = \dfrac{ab}{c} $ với a, b,c dương
khi đó: $ a= yz, b= xz, c = xy ; x^2+y^2+z^2=3$
bất đẳng thức cần cm đc viết lại là:
$ 6(xy+yz+zx) \geq 3( x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} ) + ( xy+yz+zx)^{2} $
$ \Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx) \geq 4(x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2}) +2xyz(x+y+z) $
$ \Leftrightarrow x^{3} ( y+z) + y^{3} (z+x) + z^{3} (x+y) \geq2( x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2})$
dùng AM-GM , ta có: $(x^{3}y + y^{3}x) + ( z^{3}x + x^{3}z) + (y^{3}z+z^{3}y) \geq 2(x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2})$
Cách giải hay phết nhỉ, nhưng còn cách pqr thì mình chưa làm đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 21-10-2009 - 18:23

[namdung]

Cái này cứ thuần nhất hóa (nhân vế phải với $ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 $ và vế trái với 3abc) rồi nhân ra, rút gọn thành $ a^3(b-c)^2 + b^3(c-a)^2 + c^3(a-b)^2 \ge 0 $ là xong.

[hieu_math]

Cái này cứ thuần nhất hóa (nhân vế phải với $ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 $ và vế trái với 3abc) rồi nhân ra, rút gọn thành $ a^3(b-c)^2 + b^3(c-a)^2 + c^3(a-b)^2 \ge 0 $ là xong.

Thầy namdung ơi !Thầy có tài liệu về hàm số và phương trình hàm không cho em em học kém phần này quá. Em cảm ơn thầy

[namdung]

Sách tiếng Việt thì có cuốn Phương trình hàm của Nguyễn Trọng Tuấn.

Sách tiếng Anh thì có cuốn phương trình hàm của Ấn Độ (Ventakachala gì đó). Có 1 cuốn khác của Titu và Harazi.

Tiếc là tôi không có Ebook của các cuốn này.

Đính kèm là 1 tài liệu về PTH của Pháp. Tài liệu này cũng khá cơ bản và hay.

File gửi kèm

•  eqfonc.pdf   396.03K   81 Số lần tải

[nguyet.anh]

ok! coi như xong r?#8220;i
em xin tiếp một bài nữa
cho các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$
CMR:
$\dfrac{3}{ab+bc+ca+1}+\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2} \ge \dfrac{2(a+b+c+3)}{(a+1)(b+1)(c+1)} $
--------------------------------------------
mà hoangnbk viết sai r?#8220;i nhé phải là $x^2+y^2+z^2=3$ chứ kok phải là $x+y+z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyet.anh: 22-10-2009 - 16:49

[hoangnbk]

ok! coi như xong rồi
em xin tiếp một bài nữa
cho các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$
CMR:
$\dfrac{3}{ab+bc+ca+1}+\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2} \ge \dfrac{54}{(a+b+c+3)^2} $
--------------------------------------------
mà hoangnbk viết sai rồi nhé phải là $x^2+y^2+z^2=3$ chứ kok phải là $x+y+z=3$

Mình vừa sửa lại rùi.
thầy namdung ơi thầy có bản dịch ko ạ? Em chưa học tiếng Pháp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 22-10-2009 - 17:04

[vo thanh van]

Chịu khó đọc hiểu đi em,từ nào không biết thì xem từ điển thôi,bản dịch chắc không có đâu.
Gửi các em thêm cuốn này về phương trình hàm,khá hay đấy

File gửi kèm

•  Problem_Books_in_Mathematics___Functional_Equations.pdf   782.04K   164 Số lần tải

[hoangnbk]

cho các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$
CMR:
$\dfrac{3}{ab+bc+ca+1}+\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2} \ge \dfrac{54}{(a+b+c+3)^2} $

Ta có :
$ \dfrac{1}{(a+1)^2} + \dfrac{1}{(b+1)^2} + \dfrac{1}{(c+1)^2} \geq \dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+1})^2 \geq \dfrac{1}{3}. \dfrac{9^2}{(a+b+c+3)^2} = \dfrac{27}{(a+b+c+3)^2}$
bh ta chỉ cần chứng minh $ \dfrac{3}{ab+bc+ca+1} \geq \dfrac{27}{(a+b+c+3)^2} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a+b+c+1} \geq \dfrac{9}{(a+b+c+3)^2} \Leftrightarrow 9(a+b+c+1) \leq (a+b+c+3)^2$
$ \Leftrightarrow 9(ab+bc +ca) \leq (a+b+c)^2 + 6 (ab+bc+ca) \Leftrightarrow 3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2$
bất đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm.

[nguyet.anh]

đã sửa lại rồi
nếu đề như vậy thì hơn đơn giản (sr) !1

[hieu_math]

đã sửa lại rồi
nếu đề như vậy thì hơn đơn giản (sr) !1

Em cảm ơn thầy .