Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyễn Thái Vũ]

Trong đại số trừu tượng, một nhóm (G,*) là một tập hợp G, cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu " * ", từ G×G vào G thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính kết hợp: phép toán "*" có tính kết hợp, nghĩa là

(a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, b và c thuộc G.

G2. Phần tử trung hòa:Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử trung hòa θ sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì

a*θ = θ*a = a.

G3. Phần tử đối lập: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại một phần tử x, gọi là phần tử đối lập của a, sao cho:

x*a = a*x = θ.


Lý thuyết toán học phát triển cho các nhóm gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều thực thể toán học đã gặp trong khoa học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm. Nhóm đại số cũng giúp nghiên cứu về sự đối xứng, một tính chất thường gặp trong tự nhiên và vật lý học.

Trong định nghĩa của nhóm phép "*" không đòi hỏi có tính chất giao hoán (a*b=b*a) nếu G thỏa mãn thêm tính chất này thì G được gọi là nhóm giao hoán, hay nhóm Abel. Nếu G không có tính giao hoán thì G được gọi là phi giao hoán hay không Abel.
Nhóm hữu hạn là một nhóm mà số phần tử của nó là hữu hạn. Nhiều khía cạnh về lý thuyết nhóm hữu hạn đã được nghiên cứu kĩ lưỡng trong thế kỉ 20, đặc biệt lý thuyết địa phương, lý thuyết về các nhóm giải được và nhóm lũy linh. Thật sự là khó có thể có một lý thuyết hoàn bị vì sự phức tạp trở nên rất lớn khi khảo sát các nhóm khổng lồ.

Số phần tử của của một nhóm hữu hạn còn gọi là cấp của nhóm đó.

Ít khó khăn hơn, nhưng không kém phần thú vị là các nhóm tuyến tính tổng quát nhỏ trên các trường hữu hạn. Nhà toán học J. L. Alperin có viết rằng:

"The typical example of a finite group is GL(n,q), the general linear group of n dimensions over the field with q elements. The student who is introduced to the subject with other examples is being completely misled." (Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121)
Tạm dịch: "Thí dụ điển hình của nhóm hữu hạn là GL(n,q), một nhóm tuyến tính tổng quát có n chiều trên trên một trường có q phần tử. Sinh viên nào được nhập môn với các thí dụ khác hơn thì (sẽ) bị hướng dẫn lầm lạc."

Bàn thảo về các nhóm có cấp nhỏ nhất, GL(2,3), xin xem Visualizing GL(2,p).

Nhóm hữu hạn có liên quan trực tiếp tới tính đối xứng, khi nó bị giới hạn bởi một số hữu hạn các phép biến đổi. Người ta tìm thấy rằng sự đối xứng liên tục, như mô hình của các nhóm Lie, dẫn đến các nhóm hữu hạn, nhóm Weyl. Bằng cách này, các nhóm hữu hạn và các tính chất của chúng có thể trả lời các câu hỏi, thí dụ như trong vật lý lý thuyết, thì ban đầu vai trò của chúng (lý thuyết nhóm hữu hạn) không được rõ ràng lắm.

Một kết quả quan trọng đầu tiên là: Mọi nhóm có cấp là số nguyên tố đều là nhóm cyclic.
Trong toán học, một nhóm giao hoán hay nhóm Abel là một nhóm thỏa mãn thêm điều kiện là phép toán hai ngôi có thêm tính giao hoán.

Nói cách khác, một nhóm giao hoán là một tập hợp, G, cùng với một phép toán hai ngôi, "*", từ G×G vào G thỏa mãn các tính chất sau:

1. Tính kết hợp: phép toán có tính kết hợp, tức là (a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, b và c thuộc G.
2. Phần tử đơn vị: tồn tại duy nhất một phần tử gọi là phần tử đơn vị (ký hiệu là 1) sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì a*1 = 1*a = a.
3. Phần tử nghịch đảo: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử x, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho x*a = a*x = 1.
4. Tính giao hoán: phép toán có tính giao hoán, tức là a*b = b*a với mọi a, b thuộc G.

[sửa] Thí dụ

* Mọi nhóm cyclic là nhóm Abel . Thật vậy , cho G là nhóm cyclic, nếu x , y là 2 phần tử của G thì xy = aman = amn = anam = yx. Như vậy nhóm các số nguyên \mathsf{Z} là nhóm Abel.
* Mọi vành đều là nhóm Abel ứng với phép cộng . Trong vành giao hoán , các phần tử có nghịch đảo tạo thành một nhóm nhân giao hoán . Ví dụ tập tất cả các số thực là nhóm Abel tương ứng với phép cộng , tập tất cả các số thực khác không tạo thành nhóm Abel ứng với phép nhân.
* Mọi nhóm con , nhóm thương của nhóm Abel là nhóm Abel .
* Nhóm các ma trận nghịch đảo bậc n ( n > 1 ) dưới trường các số thực không tạo thành nhóm Abel với phép toán nhân .

[sửa] Tính chất

Cho G là một nhóm Abel (giao hoán)

* Nếu n là số tự nhiên và x là một phần tử của G , thì phần tử x+x+..+x (n lần) có thể viết tắt là nx và (-n)x = - (nx) . Như vậy thì G sẽ trở thành một module trên vành \mathsf{Z} các số nguyên .( điều ngược lại cũng đúng ,tức là mọi module trên vành các số nguyên có thể hiểu là một nhóm Abel ).
* Tập các đồng ảnh giữa các nhóm Abel cũng tạo thành một nhóm Abel đối với phép cộng các đồng ánh.

[stargirl]

Trong đại số trừu tượng, một nhóm (G,*) là một tập hợp G, cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu " * ", từ G×G vào G thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính kết hợp: phép toán "*" có tính kết hợp, nghĩa là

(a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, b và c thuộc G.

G2. Phần tử trung hòa:Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử trung hòa θ sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì

a*θ = θ*a = a.

G3. Phần tử đối lập: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại một phần tử x, gọi là phần tử đối lập của a, sao cho:

x*a = a*x = θ.
Lý thuyết toán học phát triển cho các nhóm gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều thực thể toán học đã gặp trong khoa học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm. Nhóm đại số cũng giúp nghiên cứu về sự đối xứng, một tính chất thường gặp trong tự nhiên và vật lý học.

Trong định nghĩa của nhóm phép "*" không đòi hỏi có tính chất giao hoán (a*b=b*a) nếu G thỏa mãn thêm tính chất này thì G được gọi là nhóm giao hoán, hay nhóm Abel. Nếu G không có tính giao hoán thì G được gọi là phi giao hoán hay không Abel.
Nhóm hữu hạn là một nhóm mà số phần tử của nó là hữu hạn. Nhiều khía cạnh về lý thuyết nhóm hữu hạn đã được nghiên cứu kĩ lưỡng trong thế kỉ 20, đặc biệt lý thuyết địa phương, lý thuyết về các nhóm giải được và nhóm lũy linh. Thật sự là khó có thể có một lý thuyết hoàn bị vì sự phức tạp trở nên rất lớn khi khảo sát các nhóm khổng lồ.

Số phần tử của của một nhóm hữu hạn còn gọi là cấp của nhóm đó.

Ít khó khăn hơn, nhưng không kém phần thú vị là các nhóm tuyến tính tổng quát nhỏ trên các trường hữu hạn. Nhà toán học J. L. Alperin có viết rằng:

"The typical example of a finite group is GL(n,q), the general linear group of n dimensions over the field with q elements. The student who is introduced to the subject with other examples is being completely misled." (Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121)
Tạm dịch: "Thí dụ điển hình của nhóm hữu hạn là GL(n,q), một nhóm tuyến tính tổng quát có n chiều trên trên một trường có q phần tử. Sinh viên nào được nhập môn với các thí dụ khác hơn thì (sẽ) bị hướng dẫn lầm lạc."

Bàn thảo về các nhóm có cấp nhỏ nhất, GL(2,3), xin xem Visualizing GL(2,p).

Nhóm hữu hạn có liên quan trực tiếp tới tính đối xứng, khi nó bị giới hạn bởi một số hữu hạn các phép biến đổi. Người ta tìm thấy rằng sự đối xứng liên tục, như mô hình của các nhóm Lie, dẫn đến các nhóm hữu hạn, nhóm Weyl. Bằng cách này, các nhóm hữu hạn và các tính chất của chúng có thể trả lời các câu hỏi, thí dụ như trong vật lý lý thuyết, thì ban đầu vai trò của chúng (lý thuyết nhóm hữu hạn) không được rõ ràng lắm.

Một kết quả quan trọng đầu tiên là: Mọi nhóm có cấp là số nguyên tố đều là nhóm cyclic.
Trong toán học, một nhóm giao hoán hay nhóm Abel là một nhóm thỏa mãn thêm điều kiện là phép toán hai ngôi có thêm tính giao hoán.

Nói cách khác, một nhóm giao hoán là một tập hợp, G, cùng với một phép toán hai ngôi, "*", từ G×G vào G thỏa mãn các tính chất sau:

1. Tính kết hợp: phép toán có tính kết hợp, tức là (a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, b và c thuộc G.
2. Phần tử đơn vị: tồn tại duy nhất một phần tử gọi là phần tử đơn vị (ký hiệu là 1) sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì a*1 = 1*a = a.
3. Phần tử nghịch đảo: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử x, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho x*a = a*x = 1.
4. Tính giao hoán: phép toán có tính giao hoán, tức là a*b = b*a với mọi a, b thuộc G.

[sửa] Thí dụ

* Mọi nhóm cyclic là nhóm Abel . Thật vậy , cho G là nhóm cyclic, nếu x , y là 2 phần tử của G thì xy = aman = amn = anam = yx. Như vậy nhóm các số nguyên \mathsf{Z} là nhóm Abel.
* Mọi vành đều là nhóm Abel ứng với phép cộng . Trong vành giao hoán , các phần tử có nghịch đảo tạo thành một nhóm nhân giao hoán . Ví dụ tập tất cả các số thực là nhóm Abel tương ứng với phép cộng , tập tất cả các số thực khác không tạo thành nhóm Abel ứng với phép nhân.
* Mọi nhóm con , nhóm thương của nhóm Abel là nhóm Abel .
* Nhóm các ma trận nghịch đảo bậc n ( n > 1 ) dưới trường các số thực không tạo thành nhóm Abel với phép toán nhân .

[sửa] Tính chất

Cho G là một nhóm Abel (giao hoán)

* Nếu n là số tự nhiên và x là một phần tử của G , thì phần tử x+x+..+x (n lần) có thể viết tắt là nx và (-n)x = - (nx) . Như vậy thì G sẽ trở thành một module trên vành \mathsf{Z} các số nguyên .( điều ngược lại cũng đúng ,tức là mọi module trên vành các số nguyên có thể hiểu là một nhóm Abel ).
* Tập các đồng ảnh giữa các nhóm Abel cũng tạo thành một nhóm Abel đối với phép cộng các đồng ánh.

HICC vừa nhìn đã mù mắt rồi hu hu??????!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Nguyễn Thái Vũ]

Tất cả các bạn THCS nếu chịu khó tìm tòi nghiên cứu sẽ hiểu được thôi , tôi cũng mới lớp 9 mà