Chủ đề này có 19 trả lời

[vo thanh van]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}} \leq \dfrac {3}{4}$

[Janienguyen]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}} \leq \dfrac {3}{4}$

$\dfrac{3}{2} -(\dfrac {a^2+b^2}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {b^2+c^2}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {c^2+a^2}{2 + c^{2} + a^{2}}) \leq \dfrac{3}{2} -\dfrac{1}{8}( \dfrac{( a+b)^{2} }{a+b} + \dfrac{(b+c) ^{2} }{b+c} +\dfrac{(c+a) ^{2} }{c+a}) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{8} 2 (a+b+c)$
-->đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 21-10-2009 - 21:11

[vo thanh van]

$\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}} \leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}) $

Em giải thích rõ đoạn này đi

[Janienguyen]

Em giải thích rõ đoạn này đi

$ \dfrac{1}{(1+ a^{2})+(1+b ^{2})}$
dùng cosi cho 2 số ở mẫu là đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 21-10-2009 - 16:51

[nguyen xuan huy]

có thể xem ở đây

Hình gửi kèm

• 

[nguyen xuan huy]

Luôn tiện mời các cao thủ giúp mình bài này với
cho a>b>c và thỏa mãn$ab + bc + ca = abc$$,chứng minh rằng:
$\dfrac{4}{{c^2 }} + \dfrac{1}{{(a - b)b}} + \dfrac{1}{{(b - c)c}} \le \dfrac{4}{3}$$

[nguyen xuan huy]

ừ nhỉ,hèn gì mình cố tìm dấu bằng xảy ra mà không được.Cảm ơn bạn nhiều!

[leviethai1994]

$\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}} \leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}(\dfrac{c}{a+b} + \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a}) \leq \dfrac{3}{4} $(ad bđt nesbitt)

$ \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}) \geq \dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{2(a+b+c)}) = \dfrac{3}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 21-10-2009 - 19:31

[vo thanh van]

$ \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}) \geq \dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{2(a+b+c)}) = \dfrac{3}{4} $

Em nhầm dấu rồi đấy

[leviethai1994]

Em nhầm dấu rồi đấy

Em phản biện lại cách chứng minh của bạn Jannie Nguyễn ạ

[Janienguyen]

Em phản biện lại cách chứng minh của bạn Jannie Nguyễn ạ

Bước cuối mình biến đổi sai rồi!thanks leviethai1994 ha!
anh huy có sửa lại đề bài không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 21-10-2009 - 21:22

[nguyen xuan huy]

Em nhầm rồi,phải là thế này cơ

Hình gửi kèm

• 

[Janienguyen]

anh Văn có thể đua ý tưởng không!e làm lộn dấu hoài à!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 21-10-2009 - 22:41

[nguyet.anh]

$\dfrac{3}{2} -(\dfrac {a^2+b^2}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {b^2+c^2}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {c^2+a^2}{2 + c^{2} + a^{2}}) \leq \dfrac{3}{2} -\dfrac{1}{8}( \dfrac{( a+b)^{2} }{a+b} + \dfrac{(b+c) ^{2} }{b+c} +\dfrac{(c+a) ^{2} }{c+a}) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{8} 2 (a+b+c)$
-->đpcm

giải thích kĩ hơn đi hình như có vấn đề rồi !

[Janienguyen]

giải thích kĩ hơn đi hình như có vấn đề rồi !

đúng là có vđ bạn ạ!
!ấn nhầm nút thanks!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 21-10-2009 - 23:18

[vo thanh van]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}} \leq \dfrac {3}{4}$

Sáng nay rảnh rỗi,thử dồn biến,ok luôn ^^
Đặt $f(a,b,c)=\dfrac {1}{2 + a^{2} + b^{2}} + \dfrac {1}{2 + b^{2} + c^{2}} + \dfrac {1}{2 + c^{2} + a^{2}}$
Khi đó $f(a,t,t)=\dfrac{2}{2+a^2+t^2}+\dfrac{1}{2+2t^2}$ với $t=\dfrac{b+c}{2}$
Xét $f(a,t,t)-f(a,b,c)=(b^2+c^2-\dfrac{(b+c)^2}{2})(\dfrac{1}{(b^2+c^2+2)(2+\dfrac{(b+c)^2}{2})}$-$\dfrac{1}{(4+2a^2+b^2+c^2)(4+2a^2+\dfrac{(b+c)^2}{2})})\ge 0$
Đúng vì $2(b^2+c^2)\ge (b+c)^2$ và $4+2a^2+b^2+c^2\ge b^2+c^2+2,4+2a^2+\dfrac{(b+c)^2}{2}\ge 2+\dfrac{(b+c)^2}{2}$
Tiếp theo ta chứng minh$f(a,t,t)\le\dfrac{3}{4}$
Thật vậy BDT này tương đương với $(a-1)^2(15a^2-78a+111)\ge 0$
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c=1$

[vo thanh van]

Em cũng nghĩ dc cái đầu cảu anh rồi nhưng mà cm ko đc bđt$ \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2} \leq \dfrac{3}{2}$
Em lại chưa học dồn biến! :cry

BDT này anh nghĩ không đúng đâu em,nếu ta cho $a,b$ rất nhỏ,giả sử là $a=b=0,1$ đi,khi đó ta có $\dfrac{1}{a^2+b^2}=50>\dfrac{3}{2}$ rồi

[nguyet.anh]

Em cũng nghĩ dc cái đầu cảu anh r?#8220;i nhưng mà cm ko đc bđt$ a,b,c>0,c+b+c=3,\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}+\dfrac{1}{1+a^2} \leq \dfrac{3}{2}$
Em lại chưa học d?#8220;n biến! :cry

bdt này lại còn sai hơn em thử cho $a=b= 0.001$ vào thì VT đã lớn hơn VP r?#8220;i

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyet.anh: 23-10-2009 - 21:24

[vo thanh van]

Có một lời giải của em quykhtn-a1 trên Mathlinks,anh cho là đẹp,không dùng công cụ mạnh,các em xem thử nhé
Here is my solution:
Lemma :With $x,y,z > 0$,we have:
$(\sqrt {x + y} + \sqrt {y + z} + \sqrt {z + x})^2 \ge 2\sqrt {3(xy + yz + zx)} + 4(x + y + z)$
Proof.
Put $m = \sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}-\sqrt{a+b};n =\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b}-\sqrt{b+c}$
$p =\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}-\sqrt{c+a}$ then $m,n,p > 0$
This inequality become: $mn + np + pm \ge \sqrt {3mnp(m + n + p)}$
Which is obvious true. Equality holds if and only if $x = y = z$
-Now,com back the problem
It is equivalent to:
$\dfrac {a^2 + b^2}{2 + a^2 + b^2} + \dfrac {b^2 + c^2}{2 + b^2 + c^2} + \dfrac {c^2 + a^2}{2 + c^2 + a^2} \ge \dfrac {3}{2}$
By Cauchy-Schwarz inequality and Lemma,we have;
$LHS \ge \dfrac {(\sqrt {a^2 + b^2} + \sqrt {b^2 + c^2} + \sqrt {c^2 + a^2})^2}{6 + 2(a^2 + b^2 + c^2)}$
$\ge \dfrac {2(a^2 + b^2 + c^2) + ab + bc + ca}{3 + a^2 + b^2 + c^2}$
(because:$\sqrt {3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2} \ge ab + bc + ca)$
$= \dfrac {\dfrac {3}{2}(3 + a^2 + b^2 + c^2)}{3 + a^2 + b^2 + c^2} = RHS$ (because $a + b + c = 3$)
Then,we have Q.E.d
Equality holds if and only if $a = b = c = 1$

[vo thanh van]

Một hướng tiếp cận khác cho bài toán này,đó là sử dụng BDT Cauchy-Schwarz.Try it!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 26-10-2009 - 18:33