Chủ đề này có 3 trả lời

[hieu_math]

mọi người sao không ai post bài mới lên à

[tuan101293]

thí điểm bài này nhé em
a+b+c=1,a,b,c>0
CMR:
$\dfrac{(48abc+1)}{abc}\ge \dfrac{25}{ab+bc+ca}$

[trungdeptrai]

thí điểm bài này nhé em
a+b+c=1,a,b,c>0
CMR:
$\dfrac{(48abc+1)}{abc}\ge \dfrac{25}{ab+bc+ca}$

Bổ đề:
Nếu các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$, đặt $ab+bc+ca=\dfrac{1-{q}^{2}}{3}$,$q\geq 0$thì ta có một kết quả khá mạnh:
$\dfrac{{\left( 1+q\right)}^{2}\left( 1-2q\right)}{27}\leq abc\leq \dfrac{{\left( 1-q\right)}^{2}\left( 1+2q\right)}{27}$
(bổ đề này đã được anh Cẩn chứng minh khá lâu rùi)
Trở lai bài toán:
dpcm$\Leftrightarrow 16\left( 1-{q}^{2}\right)+\dfrac{1-{q}^{2}}{3r}\geq 25$
áp dụng bổ đề,ta có:$\dfrac{1-{q}^{2}}{3r}\geq \dfrac{27\left( 1-{q}^{2}\right)}{3{{\left( 1-q\right)}^{2}\left( 1+2q\right)}}=\dfrac{9\left( 1+q\right)}{\left( 1-q\right)\left( 1+2q\right)}$
Lại có:$\dfrac{9\left( 1+q\right)}{\left( 1-q\right)\left( 1+2q\right)}+16\left( 1-{q}^{2}\right)=\dfrac{2{q}^{2}{\left( 4q-1\right)}^{2}}{\left( 1-q\right)\left( 1+2q\right)}+25\geq 25$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$,hoặc $2a=b=c$ và các hoán vị
Mình đã gặp bài này khi đang "lọ mọ" làm bài sau,mọi người cùng thử nhé:
Cho $a,b,c$ dương,$a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{25}{1+48abc}$
(không khẳng định là 2 bài có liên quan đến nhau đâu nhé)

[nguyen xuan huy]

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca = 3.Chứng minh:
$\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \ge 3\sqrt 2 $
Bài 2:cho$a \ge b \ge c > 0$,chứng minh:
$2a + 3b + 5c - \dfrac{8}{3}(\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} ) \le \dfrac{1}{3}(\dfrac{{a^2 }}{b} + \dfrac{{b^2 }}{c} + \dfrac{{c^2 }}{a}$
Bài 3:cho 3 số thực dương a,b,c,chứng minh:$\dfrac{{a^2 }}{b} + \dfrac{{b^2 }}{c} + \dfrac{{c^2 }}{a} + \sqrt[3]{{\dfrac{{ab + bc + ca}}{{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 )}}}} \ge \dfrac{4}{{\sqrt[4]{{27}}}}
$
Bài 4:cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn$x + y + z = xyz$,chứng minh:$\dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{{y^2 }}{{\sqrt {1 + y^2 } }} + \dfrac{{z^2 }}{{\sqrt {1 + z^2 } }} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}(x + y + z)$
Bài 5:cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xy + yz+ zx =1.Chứng minh:
$8(1 - x^2 )(1 - y^2 )(1 - z^2 ) \ge 27(1 + x^2 )(1 + y^2 )(1 + z^2 )(xyz)^2 $
Bài 6:cho x,y,z,t là các số thực không âm thỏa mãn$x + y + z + t = 1$.Chứng minh:
$\dfrac{{xy}}{{x + y + 1}} + \dfrac{{yz}}{{y + z + 1}} + \dfrac{{zt}}{{z + t + 1}} + \dfrac{{tx}}{{t + x + 1}} + \dfrac{{ty}}{{t + y + 1}} + \dfrac{{zx}}{{z + x + 1}} \le \dfrac{1}{4}$.
Bài 7:cho a,b,c,d>0 và có abcd = 16.Chứng minh:$\dfrac{{ab + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{bc + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{cd + 1}}{{c + 1}} + \dfrac{{da + 1}}{{d + 1}} \ge \dfrac{{20}}{3}$.
Bài 8:Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$xy + yz + zx = 3xyz$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:$\dfrac{{yz\sqrt {1 + 3x^2 } }}{{y + 3zx}} + \dfrac{{zx\sqrt {1 + 3y^2 } }}{{z + 3xy}} + \dfrac{{xy\sqrt {1 + 3z^2 } }}{{x + 3yz}}$
Bài 9:Cho 3 số thực dương a,b,c,tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\dfrac{{a\sqrt {ca} }}{{b\sqrt {ab} + bc}} + \dfrac{{b\sqrt {ab} }}{{c\sqrt {cb} + ca}} + \dfrac{{c\sqrt {bc} }}{{a\sqrt {ca} + ab}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen xuan huy: 07-11-2009 - 08:25