2. Chứng minh rằng trong mọi tứ diện tồn tại một đỉnh mà 3 cạnh xuất phát từ đỉnh này là 3 cạnh 1 tam giác
3. Trong mặt phẳng có 100 điểm không thẳng hàng . Xét tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 4. trong 100 điểm đã cho . Chứng minh rằng có không quá 70% là tam giác nhọn.
5.Trong tứ diện ABCD có góc BDC=90 độ. Giả sử chân đường cao được hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác phẳng ABC. Chứng minh rằng:
$(AB+BC+CA)^2 \leq 6(AD^2+BD^2+CD^2)$
Dấu bằng xảy ra khi nào.
6.Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên có dạng 2^k - 3 (k=2,3,....) chứa một tập hợp con vô hạn mà hai số bất kì trong chúng là nguyên tố cùng nhau.
7. Xác định các hàm f thỏa mãn
$f(x-f(y))= f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1$
8. Cho $a>b , c>d$ thỏa mãn
$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR:$ab+cd$ không phải là một số nguyên tố! Hãy xác định tất cả các hàm f thỏa mãn:
$f(x)+g(x) = 2x$ với mọi x là số thực , ở đó g(x) là hàm ngược của $f(x)$ nghĩa là $f(g(x))=x=g(f(x))$ với mọi x thực.
9.Cho P là một đa thức khác hằng số với hệ số nguyên , kí hiệu n(P) là số các số nguyên k khác nhau thỏa mãn $(P(k))^2=1$
CMR:$ n(P)- deg(P) \leq 2$
với deg(P) là bậc của đa thức P
10. Gọi A là tổng của các chữ số của số $ 4444^{4444} $
B là tổng các chữ số của A.Tính tổng các chữ số của B.
11.Một dãy U(n) được xác định bởi: $ U(0) =2 . U(1)=\dfrac{5}{2} . U(n+1)=U(n)[(U(n-1))^2 -2]$ với $n=1,2,....$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
$[U(n)]^3 = 2^(2n-(-1)^n)$
Đó là những bài hay và khó nhất mình từng giải , anh chị em trong diễn đàn cùng giải cho vui.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-11-2009 - 10:41
