4 replies to this topic

[Đỗ Quang Duy]

Tìm chữ số tận cùng của một số là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư, chính là tìm số dư khi chia 1 số cho 10, 100... Tìm chữ số tận cùng của $a^{n}$ :
- Nếu $a$ tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 thì $a^{n}$ cũng có tận cùng là 0, 1, 5, 6.
- Nếu $a$ tận cùng là 2, 3, 7 : ta lấy mũ n chia cho 4
Giả sử $n = 4k+r$ với $r\in(0,1,2,3)$.
Nếu $ a \equiv 2 (mod 10)$ thì $a^{n}\equiv 2^{n}=2^{4k+r}=16^{k}.2^{r}\equiv 6.2^{r} (mod 10)$
Nếu $ a \equiv 3; 7 (mod 10)$ thì $ a^{n}=a^{4k+r}\equiv a^{r} (mod 10)$
__________

Từ đó hãy thử giải vài bài sau:
Bài 1. Chứng minh rằng $0,3(1983^{1983}-1917^{1917})$ là một số nguyên
Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của $3^{2^{1998}}-2^{9^{1998}}$

[Nguyễn Thái Vũ]

cả hai bài đều xài đồng dư

Edited by Nguyen Thai Vu, 14-11-2009 - 21:48.

[Pirates]

Tất nhiên phải xài đồng dư cho những bài dạng này, em biết giải thì cứ post lời giải lên đi. Anh giải trước bài 1, em thử làm bài 2 đi.

1. Ta có: $1983^{1983} = 1983^{4k + 3} \equiv 3^{3} \equiv 7 (mod 10)$
$1917^{1917} = 1917^{4n + 1} \equiv 7 (mod 10)$
$\Rightarrow 1983^{1983} - 1917^{1917} \vdots 10$
$\Rightarrow 0,3(1983^{1983} - 1917^{1917})$ là một số nguyên.

[Nguyễn Thái Vũ]

2.
Vì 3^4 =81 có tận cùng là 1 không đổi nên ta làm thế này:
tìm số dư của 2^1998 cho 4 , mà 2^1998 = 4^999 nên 2^2008 có dạng 4k. suy ra 3^2^2008 có dạng 3^(4k)=(3^4)^k=81^k =.....1.
tương tự , 2^9^1998 , ta cũng thấy 2^4=16 có tân cùng không đổi nên ta cũng xét dư của 9^1998 cho 4 .
được dư là 1 nên 2^9^1998 = 2^(4k+1)= 2^(4k) * 2=16^k * 2= ...6 *2 =.....2
Từ đó suy ra 3^2^1998 - 2^9^1998 = .....1-....2 = ....9
vậy tận cùng của số đó là 9.

[Nguyễn Thái Vũ]

anh xem có đúng k0 nếu sai chỗ nào thì góp ý với em