Chủ đề này có 5 trả lời

[matboy_love_chemicalgirl]

CMR

:frac{ a_{1} }{1} + :frac{ a_{2} }{ 2^{2} }+........+ :frac{ }{ n^{2} } :frac{1}{1}+ :frac{1}{2}+........+ :frac{1}{n}

[trungdeptrai]

CMR

:frac{ a_{1} }{1} + :frac{ a_{2} }{ 2^{2} }+........+ :frac{ }{ n^{2} } :frac{1}{1}+ :frac{1}{2}+........+ :frac{1}{n}

Áp dụng BĐT hoán vị, sau khi sắp xếp dãy $a_{1},a_{1},...,a_{1}$ thành dãy đơn điệu tăng, ta có ngay đpcm vì $a_i>i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdeptrai: 22-11-2009 - 18:50

[vuthanhtu_hd]

CMR

:frac{ a_{1} }{1} + :frac{ a_{2} }{ 2^{2} }+........+ :frac{ }{ n^{2} } :frac{1}{1}+ :frac{1}{2}+........+ :frac{1}{n}

Sắp xếp lại dãy $a_1,a_2,...a_n$ thành dãy tăng $b_1,b_2,...b_n$.Áp dụng BDT hoán vị
với chú ý $b_i \ge i$ ta có


$\dfrac{a_1}{1}+\dfrac{a_2}{2^2}+...\dfrac{a_n}{n^2}$

$\ge \dfrac{b_{1} }{1} + \dfrac{ b_{2} }{ 2^{2} }+........+ \dfrac{b_{n} }{ n^{2} }$

$\ge \dfrac{1}{1}+ \dfrac{1}{2}+........+ \dfrac{1}{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 22-11-2009 - 18:52

[matboy_love_chemicalgirl]

coa anh na0` lam` the0 cack cap 2 dc hem cak nay` kho hjeu? wa

[nguyen_ct]

coa anh na0` lam` the0 cack cap 2 dc hem cak nay` kho hjeu? wa

thứ nhất phải khẳng định lại BDT này kok đúng !!
nó chỉ đúng khi $a_i$ là dãy nguyên dương
nếu như vạy thì áp dụng Cauchy_Schwarz ta có
$ VT(\sum \dfrac{1}{a_i}) \ge (\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n})^2$
mặt khác
$\sum \dfrac{1}{a_i} \le \sum \dfrac{1}{1}+...+\dfrac{1}{n}$ --->dpcm

[hoangnbk]

CMR

:frac{ a_{1} }{1} + :frac{ a_{2} }{ 2^{2} }+........+ :frac{ }{ n^{2} } :frac{1}{1}+ :frac{1}{2}+........+ :frac{1}{n}

đây là bài trong IMO 1978 chứ ko phải IMO 1997. Bài này đc lấy làm ví dụ 1.5.14 của stbdt. Chú Nguyên làm gì mà nóng thế?? Bạn ấy cho thiếu giả thiết $ a_1, a_2 , a_3 ,...... a_n $ là dãy nguyên dương phân biệt mà.

Chứng minh thì dễ thui, chính là cách sử dụng khai triển Abel để chứng minh bdt Hoán vị:

Sắp xếp lại dãy thành đơn điệu tăng $ b_1, b_2, b_3 ,... b_n$ ta đặt:
$ A= \dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{a_2}{2^2} + ... + \dfrac{a_n}{n^2} - \dfrac{b_1}{1^2} - \dfrac{b_2}{2^2} -... - \dfrac{b_n}{n^2} = \dfrac{a_1- b_1}{1^2} + \dfrac{a_2- b_2}{2^2} + ...+ \dfrac{a_n- b_n}{n^2} = ( \dfrac{1}{1^2} - \dfrac{1}{2^2} )(a_1 - b_1) + ( \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2} )(a_1 - b_1+ a_2 -b_2 ) + ( \dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{4^2} )(a_1 - b_1+ a_2 - b_2 + a_3 - b_3) + ... + ( \dfrac{1}{(n-1)^2} - \dfrac{1}{n^2}) (a_1 - b_1+a_2 -b_2 +...+a_{n-1} - b_{n-1}) + \dfrac{1}{n^2} (a_1 - b_1+a_2 -b_2 +...+a_n - b_n) $

vì $a_1 - b_1+a_2 -b_2 +...+a_n - b_n = 0 $, $ b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$ nên $ a_1 + a_2 +... + a_k - b_1 -b_2 - ...- b_k \geq 0 $ với mọi $ 1 \leq k \leq n$ do đó $ A \geq 0$
suy ra $ \dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{a_2}{2^2} + ... + \dfrac{a_n}{n^2} \geq \dfrac{b_1}{1^2} + \dfrac{b_2}{2^2} +... + \dfrac{b_n}{n^2} \geq \dfrac{1}{1}+ \dfrac{1}{2}+........+ \dfrac{1}{n}$ => done
ai cho mình xin 1 cái thanks công đánh máy nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 25-11-2009 - 20:55