Chủ đề này có 2 trả lời

[duyanh_vn12]

Chào các bạn, mình là mem mới, mong mọi người giúp đỡ. Hôm nay có mấy bài số thầy cho, mọi người giúp đỡ:
1. Cho dãy (na+b) n=1,2... với (a,b)=1, a,b N^{+}. Cmr có thể chọn ra dãy con sao cho các phần tử đôi một nguyên tố cùng nhau.

2. Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên dương, xét dãy số a_{0}=0; a_{n+1}=P().
CMR (a_{m};)=a_{(m,n)}.

3. Cho là dãy Fibonaxi. Cm (,a_{m})=a_{(m,n)}. ( em nghe nói bài này áp dụng bài trên mà ko ra).

[hongthaidhv]

DO MỘT SỐ NGUYÊN NHÂN, MỌI NGƯỜI CHO PHÉP MÌNH SỬA LẠI ĐỀ NHƯ SAU

Cho dãy $(na+b) n=1,2... .(a,b)=1, a,b \in N^{+}$. Cmr có thể chọn ra dãy con sao cho các phần tử đôi một nguyên tố cùng nhau.

2. Cho $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên dương, xét dãy số $x_{0}=0; x_{n+1}=P(x_{n})$.
CMR $(x_{m};x_{n})=x_{(m,n)}$.

3. Cho $x_{n}$ là dãy Fibonaxi. Cm ($x_{n},x_{m}$)=$x_{(m,n)}$. .

Bài 3: Ta sẽ cm đc $x_{n}$=$x_{k}x_{n+1-k}+x_{k-1}x_{n-k}. \ k=2,3...,n-1$.

Áp dụng ta có $x_{m}=x_{n}x_{m+1-n}+x_{n-1}x_{m-n}$.

Khi đó ( $x_{m},x_{n}$)=($x_{n}, x_{n-1}x_{m-n}$)=($x_{n},x_{m-n}$).
Áp dụng liên tiếp và thuật toán Euclide là OK

Bài 2: Giả sử $m=nk+r$
Ta có $x_{1}=P(0)$.
Dễ thấy $x_{n+1} \equiv x_{1} (mod x_{n})$ => $x_{n+2} \equiv P(x_{1})=x_{2} (mod x_{n})$.
CM đc $x_{m} \equiv x_{m-n} (mod x_{n})$. Áp dụng liên tiếp ta có $x_{m} \equiv x_{r} (mod x_{r})$.
Khi đó $(x_{m},x_{n})=(x_{n},x_{r})$. Dùng thuật toán Euclide ta có đpcm

Bài 1: dùng định lí thặng dư trung hoa ( ngồi mãi cuối cùng cũng ra)
Ta sẽ xây dựng dãy $x_{n}$ bằng dãy $x_{1},...,x_{n}$.
Xét $x_{i}=k_{i}a+b, \ i=1,2,..,n.$
Do $(x_{i},x_{j})=1$ theo định lí Trung Hoa thì tồn tại duy nhất $k_{n+1} \equiv k_{i} +1 ( mod x_{i})$.
Xét $x_{n+1}=k_{n+1}a+b$. Ta cần cm $(x_{i}, x_{n+1})=1$.
Thật vậy:
$(x_{i}, x_{n+1})=( x_{i}, x_{n+1}-x_{i})=( x_{i}, a (k_{n+1}-k_{i}))=1$ ( do $(a,b)=1$ và cách xây dựng dãy) => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 24-11-2009 - 15:47

[Pirates]

Bài 3: Ta sẽ cm đc $a_n$ = $a_k.a_{n + 1 - k} + a_{k - 1}.a_{n - k}. \ k = 2, 3..., n - 1$.
Áp dụng ta có $a_m = a_n.a_{m + 1 - n} + a_{n - 1}.a_{m - n}$.
Khi đó ($a_m, a_n$) = ($a_n, a_{n - 1}.a_{m - n}$) = ($a_n, a_{m - n}$). Áp dụng liên tiếp và thuật toán Euclide là OK

Bài 2: Giả sử $m = nk + r$
Ta có $a_1 = P(0)$.
Dễ thấy $a_{n + 1 \equiv a_1 (mod a_n)$ => $a_{n + 2} \equiv P(a_1) = a_2 (mod a_n)$.
CM đc $a_m \equiv a_{m - n} (mod a_n)$. Áp dụng liên tiếp ta có $a_m \equiv a_r (mod a_r)$.
Khi đó $(a_m, a_n) = (a_n, a_r)$. Dùng thuật toán Euclide ta có đpcm

Bài 1: dùng định lí thặng dư trung hoa ( ngồi mãi cuối cùng cũng ra)
Ta sẽ xây dựng dãy $x_n$ bằng dãy $x_1,..., x_n$.
Xét $x_i = k_i a + b, \ i = 1, 2,.., n.$
Do $(x_i, x_j) = 1$ theo định lí Trung Hoa thì tồn tại duy nhất $k_{n + 1} \equiv k_i +1 ( mod x_i)$.
Xét $x_{n + 1} = k_{n + 1}a + b$. Ta cần cm $(x_i, x_{n + 1}) = 1$.
Thật vậy:
$(x_i, x_{n + 1}) = ( x_i, x_{n + 1} - x_i) = ( x_i, a (k_{n + 1} - k_i)) = 1$ ( dễ thấy) => đpcm

P/S: nhờ ai đó edit hộ công thức toán bài 2,3. mình làm mãi ko đc

Như này đúng chưa anh