Chủ đề này có 2 trả lời

[vuthanhtu_hd]

Vừa nãy lục lại đống tài liệu thì thấy một bài mình sáng tác ngày xưa.Mọi người thử sức nhé

Bài toán.Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca=0$.Chứng minh rằng

$a^2 + b^2 + c^2 \ge a^2b + b^2c + c^2a + abc(a + b + c - 3)$
Đẳng thức xảy ra khi nào?




_____________________

Bài toán này có 4 trường hợp xả ra đẳng thức.Ngoài cách giải của mình thì anh Cẩn cũng có một lời giải bằng $p,q,r$ khá hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 25-12-2009 - 21:26

[Toanlc_gift]

Vừa nãy lục lại đống tài liệu thì thấy một bài mình sáng tác ngày xưa.Mọi người thử sức nhé

Bài toán.Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca=0$.Chứng minh rằng

$a^2 + b^2 + c^2 \ge a^2b + b^2c + c^2a + abc(a + b + c - 3)$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
_____________________

Bài toán này có 4 trường hợp xả ra đẳng thức.Ngoài cách giải của mình thì anh Cẩn cũng có một lời giải bằng $p,q,r$ khá hay

từ giả thiết:
$abc(a + b + c) = - \dfrac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{2}$
$- 3abc = {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}$
do đó có thể viết lại bdt dưới dạng tương đương:
$\sum {\dfrac{{{a^2}{{(b - 1)}^2}}}{2}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge - 3abc$
đến đây dùng bất đẳng thức này là ra:
$\dfrac{{{a^2}{{(b - 1)}^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2} \ge ac - abc \Leftrightarrow \dfrac{{{{(ab - a + c)}^2}}}{2} \ge 0$
bài này của anh rất thú vị đấy ^^!

[vuthanhtu_hd]

từ giả thiết:
$abc(a + b + c) = - \dfrac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{2}$
$- 3abc = {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}$
do đó có thể viết lại bdt dưới dạng tương đương:
$\sum {\dfrac{{{a^2}{{(b - 1)}^2}}}{2}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge - 3abc$
đến đây dùng bất đẳng thức này là ra:
$\dfrac{{{a^2}{{(b - 1)}^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2} \ge ac - abc \Leftrightarrow \dfrac{{{{(ab - a + c)}^2}}}{2} \ge 0$
bài này của anh rất thú vị đấy ^^!

Lời giải của em tương tự của anh Cẩn ở đây http://www.mathlinks...1724125#1724125

Chúng ta có 4 trường hợp xảy ra đẳng thức là
$ (a,b,c) = (0,0,0) $ hoặc $ (a,b,c)\sim (t,f(t),g(t)) $

với $ t = 2cos\dfrac{k\pi}{9}+1 $,$ k\in\{2;4;8\} $,trong đó $ f(t) =\dfrac{t^{2}-t}{t^{2}-t-1} $,$ g(t) =\dfrac{-t}{t^{2}-t-1} $