2 replies to this topic

[Đặng Văn Sang]

Cho a;b;c>0 và abc=1 Tìm max của:
$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}$

[vuthanhtu_hd]

Cho a;b;c>0 và abc=1 Tìm max của:
$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}$

Kí hiệu biểu thức trên là $S$
Ta có $a^5+b^5-a^2b^2(a+b)=(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2) \ge 0$

$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab} =\dfrac{1}{ab(a+b)+1}= \dfrac{c}{a+b+c}$

Ta cũng có 2 BDT tương tự.Công theo vế các BDT thu được ta có $S\le 1$
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$

Edited by vuthanhtu_hd, 27-12-2009 - 18:54.

[trungdeptrai]

Cho a;b;c>0 và abc=1 Tìm max của:
$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}$

Chính là BĐT IMO Shortlist, 1996