If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $
CRUX-323
Bắt đầu bởi *LinKinPark*, 01-01-2010 - 22:00
#1
Đã gửi 01-01-2010 - 22:00
#2
Đã gửi 02-01-2010 - 00:33
If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $
Xem các biến $x,y,z$ như $a,b,c$. Đặt $t^3=abc$, đánh giá bằng AM-GM như sau:
$ t^3=xyz = (1-x)(1-y)(1-z)\le\left( 1-\dfrac{a+b+c}3 \right)^3 \le(1-t)^3$ , rút ra $t\le\dfrac1{2}$ hay $abc\le\dfrac1{8}$
Từ đó mà $1+ab+bc+ca=a+b+c+2abc\le a+b+c+\dfrac1{4}$ hay $a+b+c-ab-bc-ca\le\dfrac3{4}$ (đpcm)
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...
Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...
Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh
#3
Đã gửi 26-09-2010 - 16:49
If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $
Có thể giải như sau:
Đăt $a=\dfrac{x}{1-x}; b=\dfrac{y}{1-y}; c=\dfrac{z}{1-z}\Rightarrow a,b,c>0:abc=1$
Khi đó: $x=\dfrac{a}{a+1}; y=...; z=...$
Dễ dàng viết được BDT dưới dạng tương đương sau:
$\dfrac{a}{(a+1)(c+1)}+\dfrac{b}{(b+1)(a+1)}+\dfrac{c}{(c+1)(b+1)}\ge \dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge 6$ ($abc=1$)
Đúng theo AG-GM!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh