Đến nội dung


Hình ảnh

Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 03-07-2005 - 12:50

Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$

Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-02-2013 - 21:44

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 19-02-2013 - 04:16

Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$

...đề cho giấy $ABCD$, mà sao hình vẽ lại là $ABDC$ ?

~~~~
...Theo hình vẽ:
Cách khác vậy ^^~
Spoiler

Hình đã gửi
-Chọn hệ tọa độ trực chuẩn nhận độ dài cạnh hình vuông làm đơn vị sao cho:
$C=0+0.i$, $A=0+i$, $B=1+i$, $D=1+0.i$
-Điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$: $M=k+i$ ( Với $k\in [0;1]$ )
-Để tạo điểm $Q$, ta tiến hành như sau: Thực hiện phép quay 'động' quanh $C$ để cố định $M$ tại điểm $(0+i)$, lấy đối xứng điểm $D$ qua đường thẳng $Im(z)=0,5$ và trả lại ảnh ban đầu :
Thể hiện qua hàm chuyển ảnh :
$Q=w(D)=\left( i+cọnjugate(\frac{i}{M} .D ) \right)\frac{M}{i}=M-\frac{M}{\bar{M}}=M-\frac{M^2}{|M|^2}$
-Do $M,R,Q$ thẳng hàng, theo Thales, ta có:
$\frac{MR}{RQ}=\left| \frac{M-R}{R-Q} \right|=\left| \frac{Re(M-1)}{Re(Q-1)} \right|=\left| \frac{k-1}{k-1-\frac{k^2-1}{k^2+1}} \right|=\left| \frac{k^2+1}{k(k-1)} \right|=\frac{k^2+1}{k(1-k)}=f(k)$
$\Rightarrow f'(k)=\frac{k^2+2k-1}{k^2(1-k)^2}=0\Leftrightarrow k=\pm \sqrt{2}-1$
Theo đó: $min\frac{MR}{RQ} =\min_{k\in [0;1]}f(k)=min(\lim_{k\rightarrow 0} f(k), f(\sqrt{2}-1),\lim_{k\rightarrow 1} f(k))=f(\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2}$
-Giá trị đạt tại $k=\sqrt{2}-1$, hay $AM=(\sqrt{2}-1) a$ ( Với $a$ là độ dài cạnh hình vuông )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 20-02-2013 - 02:35

^^~

#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-02-2013 - 11:31

Đề bài có lẽ phải theo hình vẽ mới phải.
Hình đã gửi
Ta có:
$\overline{MR}+\overline{RQ}=a\quad$ (cạnh của hình vuông)
Đặt $\overline{AM}=x,\quad 0\le x\le a$
Ta có: $\overline{CM}=\sqrt{x^2+a^2}$
$\cos\widehat{ACM}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CM}}=\dfrac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}=\cos\widehat{NMC}=\dfrac{\frac{1}{2}\overline{CM}}{\overline{NM}}=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{2\overline{NM}}$
Suy ra:
$\overline{NM}=\dfrac{x^2+a^2}{2a}$
Ta lại có: $\quad\triangle NAM \sim\triangle MBR\quad$ suy ra: $\quad\dfrac{\overline{AN}}{\overline{NM}}=\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MR}}$
$\Rightarrow \overline{MR}=\dfrac{\overline{MB}.\overline{NM}}{\overline{AN}}=\dfrac{(a-x)\dfrac{x^2+a^2}{2a}}{\sqrt{\frac{(x^2+a^2)^2}{4a^2}-{\scriptstyle x^2}}}=\dfrac{x^2+a^2}{x+a}$
Từ đó ta có:
$f(x)=\dfrac{\overline{MR}}{\overline{RQ}}=\dfrac{\overline{MR}}{a-\overline{MR}}=\dfrac{\frac{x^2+a^2}{x+a}}{{\scriptstyle a} - \frac{x^2+a^2}{x+a}}=\dfrac{x^2+a^2}{x(a-x)}$

Xét hàm $f(x)=\dfrac{x^2+a^2}{x(a-x)}$ trên khoảng $(0,a)$
Ta có: $f\,'(x)=\dfrac{a(x^2+2ax-a^2)}{x^2(a-x)^2}\quad$ Suy ra $f\,'(x)=0\Rightarrow x=a(\sqrt{2}-1)$
Lập bảng biến thiên
$\begin{array}{c|ccccc}
x&0&&a(\sqrt{2}-1)&&a\\
\hline
f\,'(x)&&-&0&+&\\
\hline
f(x)&+\infty&&&&+\infty\\
&&\searrow&&\nearrow&\\
&&&2+2\sqrt 2&&
\end{array}$

Từ đó ta có $\min\dfrac{\overline{MR}}{\overline{RQ}}=2+2\sqrt 2$
đạt được khi $\overline{AM}=(\sqrt 2-1)\overline{AB}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 22:31

Chấm bài 

hxthanh: 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh