Chủ đề này có 6 trả lời

[nhatanh0405]

tìm m,n>1 sao cho 2^{m}+3^{n} là Số CHÍNH PHƯƠNG

[Pirates]

Tìm $m, n > 1$ sao cho $2^{m} + 3^{n}$ là Số CHÍNH PHƯƠNG.

Ta giải ptnn sau: $2^{m} + 3^{n} = k^{2}$

Vì $k^{2} \equiv 0$ hoặc $1$ (mod 3) $\Rightarrow m$ chẵn và $m \geq 2$.

$\Rightarrow k^{2}$ lẻ và $k^{2} \equiv 1$ (mod 4)

$\Rightarrow 3^{n} \equiv 1$ (mod 4) nên $n$ chẵn.

Đặt $n = 2p, p$ nguyên dương. Ta có: $2^{m} = k^{2} - 3^{2p} = (k + 3^{p})(k - 3^{p})$

Dễ thấy được: $k - 3^{p} = 2 , k + 3^{p} = 2^{m - 1}$

$\Rightarrow 3^{p} + 1 = 2^{m - 2}$

Vì $m$ chẵn và $m \neq 2$ nên $3^{p} + 1 \equiv 0$ (mod 4)

$\Rightarrow p$ lẻ. Nếu $p > 1$ thì: $3^{p} + 1 = (3 + 1)(\sum\limits_{q = 0}^{p - 1} (-1)^{q} 3^{p - 1 - q})$

Kết hợp với ta thấy rằng tổng bằng 1, ta có $2^{m - 2} = 4 \Rightarrow m = 4 , n = 2 , k = 5$

$2^{4} + 3^{2} = 5^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 07-01-2010 - 08:50

[Nguyễn Thái Vũ]

chưa gì anh Sơn đã chém mất rồi, chán........

[Pirates]

chưa gì anh Sơn đã chém mất rồi, chán........

Hì...thế thì giờ cho em một bài nhé, cũng tương tự và hay chẳng kém nè...

Tìm tất cả các số tự nhiên $m, n$ để $2^{m} + 5^{n}$ là số chính phương.

[nocode death]

ủa hình như cái bài của anh pirates cậu Vũ post bên casiovn lâu lắm rồi. Cách đây đến cả tháng.
Thôi Vũ để thời gian làm hộ mình bài này. Mình chuẩn bị post lên đây

[Nguyễn Thái Vũ]

mình giải rồi đó

[maths_lovely]

Mấy chỗ chẵn lả mình không hỉu j` hết