Chủ đề này có 3 trả lời

[Ham học toán]

1)Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia AB lấy E và trên tia AC lấy F sao cho BE = CF = BC.
Giả sử M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng: $MA + MB + MC \leq EF$. Dấu bằng xảy ra khi nào ?
2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp $(O;R= \sqrt{5})$ có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Cho biết OI = 1. Gọi S là diện tích tam giác ICD. Chứng minh rằng:
$1 \leq S \leq 4$
3) Cho (O;R). Từ một điểm C bất lì trên đường kính AB, vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Các đường tròn (O₁;R₁),(O₂;R₂) tiếp xúc với AB, CD và (O;R). Chứng minh rằng:
R₁+R₂$ \leq 2(\sqrt{2}-1)R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán: 13-01-2010 - 19:36

[abstract]

1)Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia AB lấy E và trên tia AC lấy F sao cho BE = CF = BC.
Giả sử M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng: $MA + MB + MC \leq EF$. Dấu bằng xảy ra khi nào ?
2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp $(O;R= \sqrt{5})$ có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Cho biết OI = 1. Gọi S là diện tích tam giác ICD. Chứng minh rằng:
$1 \leq S \leq 4$
3) Cho (O;R). Từ một điểm C bất lì trên đường kính AB, vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Các đường tròn (O₁;R₁),(O₂;R₂) tiếp xúc với AB, CD và (O;R). Chứng minh rằng:
R₁+R₂$ \leq 2(\sqrt{2}-1)R$

Bài 1: Ptolemy theorem: $MB.CA+MC.AB=MA.BC \Rightarrow MA= \dfrac{MB.CA+MC.AB}{BC}$
$ \Rightarrow \sum MA=MB( \dfrac{CA}{BC}+1)+MC( \dfrac{AB}{BC}+1)= \dfrac{MB.AF}{BC}+ \dfrac{MC.AE}{BC}$
$ \leq \sqrt{\dfrac{MB^{2}+ MC^{2} }{BC^{2}}( AE^{2}+AF^{2}) } }=EF \Rightarrow Q.E.D$
Tạm thời thế đã. Muộn r�#8220;i.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 14-01-2010 - 09:03

[abstract]

1)Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia AB lấy E và trên tia AC lấy F sao cho BE = CF = BC.
Giả sử M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng: $MA + MB + MC \leq EF$. Dấu bằng xảy ra khi nào ?
2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp $(O;R= \sqrt{5})$ có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Cho biết OI = 1. Gọi S là diện tích tam giác ICD. Chứng minh rằng:
$1 \leq S \leq 4$
3) Cho (O;R). Từ một điểm C bất lì trên đường kính AB, vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Các đường tròn (O₁;R₁),(O₂;R₂) tiếp xúc với AB, CD và (O;R). Chứng minh rằng:
R₁+R₂$ \leq 2(\sqrt{2}-1)R$

Bài 3: Lấy $(O'; R_{2})$ đối xứng $ ( O_{2} ;R_{2})$ qua $AB$. $AB \cap CD=I$
$ O_{1}I+IO'= O_{1}O' \leq OO_{1}+OO' \Leftrightarrow \sqrt{2}( R_{1}+ R_{2}) \leq 2R- R_{1}- R_{2}$
Biến đổi tương đương ta có $Q.E.D$
Bài 2:Ta có đẳng thức quen thuộc
$ IA^{2}+ IB^{2}+ IC^{2}+ ID^{2}= AD^{2}+ BC^{2}=4R^{2}=20$
$IO \cap (O)={D,E} \Rightarrow IA.IC=IB.ID=ID.IE=(R+OI)(R-OI)=4$
$ \Rightarrow (\dfrac{4}{IC}) ^{2}+ (\dfrac{4}{ID}) ^{2}+IC^{2}+ ID^{2}=20$
$ \Leftrightarrow 20=( IC^{2}+ ID^{2})(1+ \dfrac{16}{ IC^{2} ID^{2} }) \geq 2IC.ID(1+ \dfrac{16}{ IC^{2} ID^{2} })$
$ \Leftrightarrow 4S+ \dfrac{16}{S} \leq 20 \Leftrightarrow (S-1)(S-4) \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq S \leq 4 \Rightarrow Q.E.D$

[Ham học toán]

Bài 3: Lấy $(O'; R_{2})$ đối xứng $ ( O_{2} ;R_{2})$ qua $AB$. $AB \cap CD=I$
$ O_{1}I+IO'= O_{1}O' \leq OO_{1}+OO' \Leftrightarrow \sqrt{2}( R_{1}+ R_{2}) \leq 2R- R_{1}- R_{2}$
Biến đổi tương đương ta có $Q.E.D$
Bài 2:Ta có đẳng thức quen thuộc
$ IA^{2}+ IB^{2}+ IC^{2}+ ID^{2}= AD^{2}+ BC^{2}=4R^{2}=20$
$IO \cap (O)={D,E} \Rightarrow IA.IC=IB.ID=ID.IE=(R+OI)(R-OI)=4$
$ \Rightarrow (\dfrac{4}{IC}) ^{2}+ (\dfrac{4}{ID}) ^{2}+IC^{2}+ ID^{2}=20$
$ \Leftrightarrow 20=( IC^{2}+ ID^{2})(1+ \dfrac{16}{ IC^{2} ID^{2} }) \geq 2IC.ID(1+ \dfrac{16}{ IC^{2} ID^{2} })$
$ \Leftrightarrow 4S+ \dfrac{16}{S} \leq 20 \Leftrightarrow (S-1)(S-4) \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq S \leq 4 \Rightarrow Q.E.D$

Nhưng $AB \cap CD = C$ mà !!!