Chủ đề này có 13 trả lời

[abstract]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$
Chứng minh:
$ \dfrac{1}{ a^{2} -a+1}+ \dfrac{1}{ b^{2} -b+1}+\dfrac{1}{ c^{2} -c+1} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 19-01-2010 - 17:28

[Janienguyen]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$
Chứng minh:
$ \dfrac{1}{ a^{2} -a+1}+ \dfrac{1}{ b^{2} -b+1}+\dfrac{1}{ c^{2} -c+1} \leq 3$

Nhìn khá đẹp
$ \sum \dfrac{1}{ a^{2} -a+1}=3- \sum \dfrac{a(a-1)}{ a^2 -a+1}\leq 3- \sum \dfrac{a(a-1)}{a}\leq 3- \sum (a-1)=6-(a+b+c)\leq3$
Do $ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3 $
$ \Rightarrow $Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 19-01-2010 - 20:32

[Messi_ndt]

Mình đã đánh xong LG rùi mà sao ko tải đc nhỉ.Janynguyen làm trước rùi

[Messi_ndt]

Mình đã đánh xong LG rùi mà sao ko tải đc nhỉ.Janynguyen làm trước rùi

Bài này có 1 cách khá hay trong quyển NVKCTBDTTH(trang 165)

[nhungtuyet]

Ta có a^-a+1>=a => $ \dfrac{a(a-1)}{a^2-a+1}$ <= (a-1)
=> 3- tổng... phải >= chứ
Janienguyen làm sai rồi ngược dấu rồi.
Bài này tuy đối xứng nhưng cứ đánh giá bình thường lại bị ngược dấu.
Bài này trong quyển BDT của Phạm Văn Thuận có. Hình như làm kiểu
a=x/y, b=y/z, c=z/x rồi dùng Bunhi gì đó.

[Janienguyen]

Bài này có 1 cách khá hay trong quyển NVKCTBDTTH(trang 165)

Bạn có thể post lên k?Mình k dịch đc tên cuốn đó,mà chắc là mình cũng k có !Mình cũng chưa tìm thử cách khác
@tùng : bạn viết sai tên mình rồi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 19-01-2010 - 20:55

[abstract]

Nhìn khá đẹp
$ \sum \dfrac{1}{ a^{2} -a+1}=3- \sum \dfrac{a(a-1)}{ a^2 -a+1}\leq 3- \sum \dfrac{a(a-1)}{a}\leq 3- \sum (a-1)=6-(a+b+c)\leq3$
Do $ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3 $
$ \Rightarrow $Q.E.D

hình như ngược dấu bạn ak
cái $ 3- \sum \dfrac{a(a-1)}{ a^{2}-a+1 } \leq 3- \dfrac{a(a-1)}{a}$ chỉ đúng khi $a \leq 1$ thôi
còn $a \geq 1$ thì dấu ngược lại

[abstract]

Bài này có 1 cách khá hay trong quyển NVKCTBDTTH(trang 165)

tùng nhầm r�#8220;i, trang 860, 861
biết là vậy và mình post lên đây là cớ thôi, chỉ để hỏi về lời giải của mình, ảo, ko biết đúng hay sai:
Đặt $a= \dfrac{x}{y},b= \dfrac{y}{z},c= \dfrac{z}{x}$, ta chứng minh
$ \sum \dfrac{ y^{2} }{ x^{2}-xy+ y^{2} } \leq 3$
Đặt $A= \sum \dfrac{ y^{2} }{ x^{2} -xy+ y^{2} }, B= \sum \dfrac{ x^{2} }{x^{2} -xy+ y^{2} }$
ta có $ A+B-3= \sum \dfrac{ xy }{ x^{2} -xy+ y^{2} } \leq \sum \dfrac{xy}{2xy-xy} =3$
$ \Rightarrow A \leq 3$ hoặc $B \leq 3$
Nếu $ A \leq 3$ đây chính là $\Rightarrow $ đúng
Nếu $ B \leq 3 $ thì đặt $ y=m, x=n,c=p$ ta có $ \sum \dfrac{ n^{2} }{m^{2}-mn+ n^{2}} \leq 3$ đây chính là với các biến (x,y,z) thay bằng (m,n,p) (hay nói cách khac đúng với bộ (y,z,x)
$ \Rightarrow Q.E.D$
mấy mem pro vào xem hộ em cái ,lạ nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 19-01-2010 - 21:15

[Messi_ndt]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$
Chứng minh:
$ \dfrac{1}{ a^{2} -a+1}+ \dfrac{1}{ b^{2} -b+1}+\dfrac{1}{ c^{2} -c+1} \leq 3$

Hay không kém
Cho x,y,z dương và ,xyz=1
CM:$ \sum \dfrac{1}{x^{2}+x+1} \geq 1$

[Messi_ndt]

tùng nhầm r�#8220;i, trang 860, 861
biết là vậy và mình post lên đây là cớ thôi, chỉ để hỏi về lời giải của mình, ảo, ko biết đúng hay sai:
Đặt $a= \dfrac{x}{y},b= \dfrac{y}{z},c= \dfrac{z}{x}$, ta chứng minh
$ \sum \dfrac{ y^{2} }{ x^{2}-xy+ y^{2} } \leq 3$
Đặt $A= \sum \dfrac{ y^{2} }{ x^{2} -xy+ y^{2} }, B= \sum \dfrac{ x^{2} }{x^{2} -xy+ y^{2} }$
ta có $ A+B-3= \sum \dfrac{ xy }{ x^{2} -xy+ y^{2} } \leq \sum \dfrac{xy}{2xy-xy} =3$
$ \Rightarrow A \leq 3$ hoặc $B \leq 3$
Nếu $ A \leq 3$ đây chính là $\Rightarrow $ đúng
Nếu $ B \leq 3 $ thì đặt $ y=m, x=n,c=p$ ta có $ \sum \dfrac{ n^{2} }{m^{2}-mn+ n^{2}} \leq 3$ đây chính là với các biến (x,y,z) thay bằng (m,n,p) (hay nói cách khac đúng với bộ (y,z,x)
$ \Rightarrow Q.E.D$
mấy mem pro vào xem hộ em cái ,lạ nhỉ?

Anh abstract cứ xem đã chứ.Trang 165 cũng có bài này và lời giải hay và tương đối dễ hiểu,ngắn gọn.trang 860 cũng có nhỉ.

[canhochoi]

Quyển NVKCTBDTTH là gì??? Bạn có thế up lên diễn đàn không?

[abstract]

Hay không kém
Cho x,y,z dương và ,xyz=1
CM:$ \sum \dfrac{1}{x^{2}+x+1} \geq 1$

cái này đặt $x= \dfrac{ab}{ c^{2} }...$
$ \Rightarrow LHS \geq \dfrac{ ( \sum a^{2}) ^{2} }{ \sum a^{4}+ \sum a^{2} b^{2}+abc(a+b+c) } \geq 1 \Rightarrow Q.E.D$
dùng bài này để cm bài toán đầu topic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 20-01-2010 - 22:23

[Messi_ndt]

cái này đặt $x= \dfrac{ab}{ c^{2} }...$
$ \Rightarrow LHS \geq \dfrac{ ( \sum a^{2}) ^{2} }{ \sum a^{4}+ \sum a^{2} b^{2}+abc(a+b+c) } \geq 1 \Rightarrow Q.E.D$
dùng bài này để cm bài toán đầu topic

Ngoài cách đó bài của tui còn cách khắc của anh Cẩn khá hay.

Quyển NVKCTBDTTH là gì??? Bạn có thế up lên diễn đàn không?

Là Những Viên Kim Cương trong CM Bất Đẳng Thức TH of thầy Trần Phương.quyển này dày lắm.Chưa có ebook thì phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 22-01-2010 - 18:42

[Messi_ndt]

Bài này hình như còn dùng được pp phản chứng thì phải
Lời giải trước ở đây:

File gửi kèm

•  L___i_gi___i_c__ch_d__ng_B__T.doc   20.5K   102 Số lần tải
•  L___i_gi___i_c__ch_d__ng_B__T.doc   20.5K   51 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 22-01-2010 - 21:53