Chủ đề này có 14 trả lời

[math93]

Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}\geq\dfrac{3}{2}\sqrt[5]{\dfrac{a^5+b^5+c^5}{3}} $

[Messi_ndt]

Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}\geq\dfrac{3}{2}\sqrt[5]{\dfrac{a^5+b^5+c^5}{3}} $

Bài này khá hay
Trước tiên ta được phép chẩn hoá:$ a^{5}+b^{5}+c^{5}=3$.
Bổ đề quen :$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$(việc chứng minh xin dành cho bạn đọc)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $ \sum \dfrac{a^{2}}{b+c} \geq \dfrac{3}{2} $
Dùng holder:$ (\sum \dfrac{a^{2}}{b+c})^{2}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
Ta cần chứng minh cho $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq \dfrac{9}{4}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) $
dùng bổ đề trên,thì cần chứng minh $ 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \geq \sum \dfrac{a^{2}}{(b+c})^{2}$
$ \Leftrightarrow \sum S_{a} (b-c)^{2} \geq 0 ,$ trong đó $S_{a}=a^{2}\geq0,S_{b}=b^{2}\geq0,S_{c}=c^{2}\geq0 .$
bài toán hoàn toàn được giải quyết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 12-02-2010 - 03:30

[Messi_ndt]

Lời giải không quan tâm đến mũ bao nhiêu trong dấu căn.
Ta có :$ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a} \geq \dfrac{3}{2}\sqrt[n]{\dfrac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{3}}$
Có thể là:$ \dfrac {a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{b+a} \geq \dfrac{3}{2} .\sqrt[n]{\dfrac{a^{n}b^{n}+b^{n}c^{n}+c^{n}a^{n}}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 12-02-2010 - 03:36

[abstract]

Bài này khá hay
Trước tiên ta được phép chẩn hoá:$ a^{5}+b^{5}+c^{5}=3$.
Bổ đề quen :$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$(việc chứng minh xin dành cho bạn đọc)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $ \sum \dfrac{a^{2}}{b+c} \geq \dfrac{3}{2} $
Dùng holder:$ (\sum \dfrac{a^{2}}{b+c})^{2}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
Ta cần chứng minh cho $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq \dfrac{9}{4}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) $
dùng bổ đề trên,thì cần chứng minh $ 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \geq \sum \dfrac{a^{2}}{(b+c})^{2}$
$ \Leftrightarrow \sum S_{a} (b-c)^{2} \geq 0 ,$ trong đó $S_{a}=a^{2}\geq0,S_{b}=b^{2}\geq0,S_{c}=c^{2}\geq0 .$
bài toán hoàn toàn được giải quyết.

Bạn thử cm cái bổ đề kia đi. Nếu cm như này thì nó y hệt bậc 4

[Toanlc_gift]

Bài này khá hay
Trước tiên ta được phép chẩn hoá:$ a^{5}+b^{5}+c^{5}=3$.
Bổ đề quen :$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$(việc chứng minh xin dành cho bạn đọc)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $ \sum \dfrac{a^{2}}{b+c} \geq \dfrac{3}{2} $
Dùng holder:$ (\sum \dfrac{a^{2}}{b+c})^{2}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
Ta cần chứng minh cho $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq \dfrac{9}{4}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) $
dùng bổ đề trên,thì cần chứng minh $ 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \geq \sum \dfrac{a^{2}}{(b+c})^{2}$
$ \Leftrightarrow \sum S_{a} (b-c)^{2} \geq 0 ,$ trong đó $S_{a}=a^{2}\geq0,S_{b}=b^{2}\geq0,S_{c}=c^{2}\geq0 .$
bài toán hoàn toàn được giải quyết.

lưu ý với bạn là chứng minh bổ đề này khó hơn nhiều lần so với chứng minh bài toán này
vì vậy nếu không chứng minh được bổ đề coi như không giải quyết được bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 12-02-2010 - 11:21

[Messi_ndt]

lưu ý với bạn là chứng minh bổ đề này khó hơn nhiều lần so với chứng minh bài toán này
vì vậy nếu không chứng minh được bổ đề coi như không giải quyết được bài toán

Toanlc_gift nói đúng.Bổ đề này khá khó (chỉ với em thui):
Theo em việc chứng minh nó cũng đưa về bậc 4 khi dẫ có bổ đề:$ a^{5}+b^{5}+c^{5} \geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$ có đúng không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Duy Tùng: 18-02-2010 - 21:23

[abstract]

Chị Toanlc_gift nói đúng.Bổ đề này khá khó nhưng vẫn chứng minh được.Khó nên em mới nói dành cho bạn đọc.(mới thú vị.topic mới sôi nổi)

Thế bạn cm đc chưa, post lên cho mọi người học hỏi

[Messi_ndt]

Thế bạn cm đc chưa, post lên cho mọi người học hỏi

Mình chỉ vừa thử,chưa có lời giải hoàn chỉnh.Nếu bạn làm ra rùi thì post hộ

[Toanlc_gift]

Bài này khá hay
Trước tiên ta được phép chẩn hoá:$ a^{5}+b^{5}+c^{5}=3$.
Bổ đề quen :$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$(việc chứng minh xin dành cho bạn đọc)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $ \sum \dfrac{a^{2}}{b+c} \geq \dfrac{3}{2} $
Dùng holder:$ (\sum \dfrac{a^{2}}{b+c})^{2}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
Ta cần chứng minh cho $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq \dfrac{9}{4}.(\sum a^{2}(b+c)^{2}) $
dùng bổ đề trên,thì cần chứng minh $ 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \geq \sum \dfrac{a^{2}}{(b+c})^{2}$
$ \Leftrightarrow \sum S_{a} (b-c)^{2} \geq 0 ,$ trong đó $S_{a}=a^{2}\geq0,S_{b}=b^{2}\geq0,S_{c}=c^{2}\geq0 .$
bài toán hoàn toàn được giải quyết.

có lẽ bạn nhầm lẫn giữa bài toán này với bài toán của chủ topic
$\dfrac{{{a}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{3}}$
tôi ban đầu nhìn nhầm,cứ tưởng đề bài là mũ 4 trong căn bên VP ^^!
bài của bạn math93 phải nói là rất khó,theo tôi được biết thì chỉ có anh Cẩn tìm ra được 1 lời giải hoàn chỉnh cho nó nhưng lời giải khá dài và phải sử dụng đến pqr khá phức tạp
còn cái bổ đề mà bạn NDT phát biểu là bổ đề tương ứng với giả thiết $a^4+b^4+c^4$chứ không phải $a^5+b^5+c^5$,không tin bạn giở lại cuốn kim cương mà xem ^^!
còn ở trên tôi chỉ dọa bạn là bổ đề này rất khó thôi,thực ra thì rất dễ và chỉ cần chứng minh nó bằng AM-GM(bình phương lên,khai căn bậc ba và sử dụng AM-GM với 3 số)
p/s: tôi không phải là chị ^^!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 17-02-2010 - 08:28

[Messi_ndt]

có lẽ bạn nhầm lẫn giữa bài toán này với bài toán của chủ topic
$\dfrac{{{a}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{3}}$
tôi ban đầu nhìn nhầm,cứ tưởng đề bài là mũ 4 trong căn bên VP ^^!
bài của bạn math93 phải nói là rất khó,theo tôi được biết thì chỉ có anh Cẩn tìm ra được 1 lời giải hoàn chỉnh cho nó nhưng lời giải khá dài và phải sử dụng đến pqr khá phức tạp
còn cái bổ đề mà bạn NDT phát biểu là bổ đề tương ứng với giả thiết $a^4+b^4+c^4$chứ không phải $a^5+b^5+c^5$,không tin bạn giở lại cuốn kim cương mà xem ^^!
còn ở trên tôi chỉ dọa bạn là bổ đề này rất khó thôi,thực ra thì rất dễ và chỉ cần chứng minh nó bằng AM-GM(bình phương lên,khai căn bậc ba và sử dụng AM-GM với 3 số)
p/s: tôi không phải là chị ^^!

Tôi không sợ bác dạo một chút xíu nào cả.
Bài:$\dfrac{{{a}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{3}}$ tôi đã gặp lâu rùi
và cũng không nhầm với bài đầu topic .Tôi chỉ xem xem từ bài cũ đó có suy ra được bài này không thui.Cái bác nói p,q,r tôi cũng phân tích khá dài nhưng chưa xong,chưa ra con gì cả.
Hay hỏi anh Cẩn xem thế nào luôn.

[Toanlc_gift]

Tôi không sợ bác dạo một chút xíu nào cả.
Bài:$\dfrac{{{a}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{3}}$ tôi đã gặp lâu rùi
và cũng không nhầm với bài đầu topic .Tôi chỉ xem xem từ bài cũ đó có suy ra được bài này không thui.Cái bác nói p,q,r tôi cũng phân tích khá dài nhưng chưa xong,chưa ra con gì cả.
Hay hỏi anh Cẩn xem thế nào luôn.

bài bậc 4 trong căn yếu hơn so với bài bậc 5 trong căn,vậy nên sao mà suy ra được

[Messi_ndt]

bài bậc 4 trong căn yếu hơn so với bài bậc 5 trong căn,vậy nên sao mà suy ra được

Tôi cũng không suy được .Làm p,q,r cho nhanh

[abstract]

Tôi không sợ bác dạo một chút xíu nào cả.
Bài:$\dfrac{{{a}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c+a}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[4]{\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{3}}$ tôi đã gặp lâu rùi
và cũng không nhầm với bài đầu topic .Tôi chỉ xem xem từ bài cũ đó có suy ra được bài này không thui.Cái bác nói p,q,r tôi cũng phân tích khá dài nhưng chưa xong,chưa ra con gì cả.
Hay hỏi anh Cẩn xem thế nào luôn.

neu ban da phan tik dc p,q,r roi thi hay post len day, minh cung ko hieu sau khi chuyen ve p,q,r roi roi lam gi tiep?, minh thi ..bo chieu.
Noi that, dung tu ai, minh thay ban spam nhieu qua, ma chang co ket qua gi. Thu nhin vao mot topic , trong khi bai toan chua dc giai thi lai tran lan cai bai viet spam thi that chang hay ho gi.
PS: cac mod de doc xong roi roi xoa luon cx dc, dang nao day cung la spam, ma lai viet TV ko dau nua chu:D

[Messi_ndt]

neu ban da phan tik dc p,q,r roi thi hay post len day, minh cung ko hieu sau khi chuyen ve p,q,r roi roi lam gi tiep?, minh thi ..bo chieu.
Noi that, dung tu ai, minh thay ban spam nhieu qua, ma chang co ket qua gi. Thu nhin vao mot topic , trong khi bai toan chua dc giai thi lai tran lan cai bai viet spam thi that chang hay ho gi.
PS: cac mod de doc xong roi roi xoa luon cx dc, dang nao day cung la spam, ma lai viet TV ko dau nua chu:D

ok.Vì tui thử xem từ bài cũ đó có kp j' ko?Tui cũng chẳng muốn thế.
trong spam trước tui nói : "Cái bác nói p,q,r tôi cũng phân tích khá dài nhưng chưa xong,chưa ra con gì cả. "
Làm được tui đưa lên liền. ok?

[tuan101293]

http://www.mathlinks...pic.php?t=86713
Đây là lời giải của arqady bên mathlinks,dài nhưng đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 18-02-2010 - 13:03