Chủ đề này có 17 trả lời

[triều]

Tớ xin phép nói sơ qua một chút về quỹ tich :Tập Hợp điểm (quỹ tích) là một chuyên đề hình học bao gồm các bài toán thường hay gặp trong cấp trung học cơ sở , ở các cuộc thi chọn học sinh giỏi lớp 9 , hoặc thi vào các trường chuyên ... Đây là một dạng toán khá hấp dẫn (và ko kém phần quan trọng) thu hút nhiều bạn tham gia tìm hiểu & nghiên cứu...

Như các bạn có thể thấy trên diễn đàn (box hình THCS) có khá nhiều topic là những đề toán thuộc dạng này .Để tiện việc theo dõi cũng như tham khảo các bài toán về quỹ tích , tớ mở topic này với mong muốn là nơi tập hợp những bài toán về chuyên đề quỹ tích do các thành viên sưu tầm & post lên - với mục đích là phát huy tốt nhất công dụng của VMF chúng ta: là nơi mọi người chia sẻ kiến thức và giúp đỡ nhau về toán học .

Ý tứ của tớ là đến thế ^^. mong các bạn nhiệt tình ủng hộ , thường xuyên ghé qua để đóng góp ... thanks all !

đầu tiên tớ đóng góp 2 bài

bài 1 cho mấy bạn mới bắt đầu : góc vuông xOy cố định với A cố định trên Ox và B di chuyển trên Oy . tìm tập hợp các điểm C trong góc xOy sao cho ABC là tam giác đều

bài 2 cho mấy bạn đã có tí kinh nghiệm về quỹ tích :
tam giác ABC có K chuyển động trên AC , P chuyển động trên trung tuyến BD sao cho diện tích APK= diện tích BPC. tìm tập hợp các điểm M , là giao của AP và BK (bài này có thể tổng quát lên)

P/S : keke , bản thân tớ chẳng giỏi giang gì về môn QT này nên mở ra topic với vị trí là người mong muốn được học hỏi từ các bạn nhiều nhất đấy ^^

[Đỗ Quang Duy]

Quỹ tích (hay Tập hợp điểm) là một mảng khó. Nó được chính thức nói đến ở lớp 9, nhưng những học sinh khá giỏi ở các lớp dưới cũng có thể nghiên cứu về nó. Quy trình làm một bài toán quỹ tích gồm 5 phần rõ rệt như sau :
1. Tìm hiểu đề bài
2. Dự đoán quỹ tích
+ Điểm đặc biệt
+ Vị trí giới hạn
+ Điểm vô tận
+ Tính đối xứng
3. Giải phần thuận
4. Phần đảo
5. Kết luận
Tới đây, mình xin đóng góp một bài quỹ tích như sau :
Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = a < AB (có nghĩa là tổng này không đổi). Trung điểm M của DE nằm trên đường nào ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Đỗ Quang Duy: 03-02-2010 - 22:39

[triều]

@duy :a ở đây là gì vậy bạn ?
a=AB hay a là BC ?

sẵn đây :
trích từ huyen95 HD
Bài 1:Cho hai đường tròn bằng nhau tâm 0 và 0' cắt chau tại A và B.Một cát tuyến d bất kì đi qua B cắt (0) tại C,cắt (0') tại C'.Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.
Bài 2:Trên mỗi bán kính OM của (0;R) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M tới đường kính AB cố định.Tìm quỹ tích các điểm I.
Bài 3:Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp những điểm M trong mặp phẳng sao cho hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.( Đường thẳng Simson )

bài 2 ngắn làm trước nè : (lúc vẽ hình tớ nhầm điểm I thành E)

xét M di chuyển trên nửa đường tròn (phía trên) . kẻ MH vuông góc với đường kính AB , vẽ đường kính COD vuông góc với AB
tam giác HMO và EOC bằng nhau(c,g,c) nên góc OEC=MHO=1v , => E trên đường tròn đường kính OC
tương tự với M thuộc nửa đường tròn phía dưới

phần đảo cm không khó ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triều: 02-02-2010 - 23:19

[huyen95_HD]

@duy :a ở đây là gì vậy bạn ?
a=AB hay a là BC ?

sẵn đây :
trích từ huyen95 HD
Bài 1:Cho hai đường tròn bằng nhau tâm 0 và 0' cắt chau tại A và B.Một cát tuyến d bất kì đi qua B cắt (0) tại C,cắt (0') tại C'.Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.
Bài 2:Trên mỗi bán kính OM của (0;R) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M tới đường kính AB cố định.Tìm quỹ tích các điểm I.
Bài 3:Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp những điểm M trong mặp phẳng sao cho hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.( Đường thẳng Simson )

bài 2 ngắn làm trước nè : (lúc vẽ hình tớ nhầm điểm I thành E)

xét M di chuyển trên nửa đường tròn (phía trên) . kẻ MH vuông góc với đường kính AB , vẽ đường kính COD vuông góc với AB
tam giác HMO và EOC bằng nhau(c,g,c) nên góc OEC=MHO=1v , => E trên đường tròn đường kính OC
tương tự với M thuộc nửa đường tròn phía dưới

phần đảo cm không khó ^^

Uhm,bài làm của bạn giống mình quá,trùng hợp thật nhỉ,thật á...(hai ý tưởng lớn gặp nhau đây mà )
Còn bài 1 nữa các bạn thử giải đi.

[nguyen thai phuc]

Bài 1:Cho hai đường tròn bằng nhau tâm 0 và 0' cắt chau tại A và B.Một cát tuyến d bất kì đi qua B cắt (0) tại C,cắt (0') tại C'.Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.

Bài này cũng dễ thôi.

Hai đường tròn này bằng nhau=>gócACB=gócAC'B(=0.5sdcungAB)
=> tam giác ACC' cân ở A=>AE EB
Vậy E chuyển động trên đường tròn đường kính AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 03-02-2010 - 18:07

[nguyen thai phuc]

Bài 1:Cho hai đường tròn bằng nhau tâm 0 và 0' cắt chau tại A và B.Một cát tuyến d bất kì đi qua B cắt (0) tại C,cắt (0') tại C'.Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B.

Bài này cũng dễ thôi.

Hai đường tròn này bằng nhau=>gócACB=gócAC'B(=0.5sdcungAB)
=> tam giác ACC' cân ở A=>AE EB
Vậy E chuyển động trên đường tròn đường kính AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 03-02-2010 - 18:08

[nguyen thai phuc]

Chết.Mình ấn nhầm nút.Hóa ra lỡ spam mất rồi.Thôi sr
À.Có ai biết cách tự xóa bài viết của mình trong dd không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 03-02-2010 - 18:09

[triều]

@phuc : ko sao đâu , chắc mạng bị lag nên post đi post lại chứ gì ^^

còn bài 3 nữa tớ làm luôn


kẻ các đường MD, ME, MF vuông góc với BC, AC, AB
vì D,E,F thẳng hàng nên góc MDE=MDF (1)(hình trên tớ vẽ lệch để khi chứng mình các bạn dễ nhìn ^^ )
MFBD nội tiếp nên góc MDF = MBF = MBA (2)
MDCE nội tiếp nên góc MDE= MCE = MCA (3)

tứ 1,2,3 ta có góc MBA=MCA nên MBCA nội tiếp
suy ra M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

phần đảo cm gần giống như vậy nên mình không post

[triều]

@duy :

Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = a < AB (có nghĩa là tổng này không đổi). Trung điểm M của DE nằm trên đường nào ?

tớ giải dc rồi nhưng dài quá ... , có gì post cách giải chính thức lên nha ! +_+

ta xét các trường hợp điểm đặc biệt :
BD=a (lúc đó CE=0) , lấy vị trí này của D là D'
BD=0 (lúc đó CE=a) lấy vị trí này của E là E'
với K,L lần lượt là trung điểm của BE' và CD'
ta chứng minh điểm M cần tìm nằm trên KL
lấy D và E tương ứng như đề bài , trên đường song song với AC qua D , lấy điểm Q nằm ngoài tam giác sao cho DQ=CE
tương tự lấy điểm P , EP=BD
ta có QDCE là hình bình hành nên QC và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn (điểm M)
ML là đường trung bình của tam giác CD'Q nên ML // QD' (1)
tương tự MK // PE' (2)
dễ dàng chứng minh QD'//PE' (3) (đây là 2 đáy của 2 tam giác cân DD'Q và EE'P , 2 tam giác này có các cạnh bên tương ứng song song)
từ 1 2 3 ta có M nằm trên KL (trên thực nghiệm tớ thấy quỹ tích M chính là KL , nhưng điều này cần phải suy nghĩ thêm ^^)

keke vậy là xong hết , chỉ còn 2 problems của tớ thôi , các bạn tích cực giải nhé ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triều: 06-02-2010 - 00:10

[hoangnamfc]

Chết.Mình ấn nhầm nút.Hóa ra lỡ spam mất rồi.Thôi sr
À.Có ai biết cách tự xóa bài viết của mình trong dd không?

Gọi CTV THCS

[nguyen thai phuc]

@duy :
tớ giải dc rồi nhưng dài quá ... , có gì post cách giải chính thức lên nha ! +_+

ta xét các trường hợp điểm đặc biệt :
BD=a (lúc đó CE=0) , lấy vị trí này của D là D'
BD=0 (lúc đó CE=a) lấy vị trí này của E là E'
với K,L lần lượt là trung điểm của BE' và CD'
ta chứng minh điểm M cần tìm nằm trên KL
lấy D và E tương ứng như đề bài , trên đường song song với AC qua D , lấy điểm Q nằm ngoài tam giác sao cho DQ=CE
tương tự lấy điểm P , EP=BD
ta có QDCE là hình bình hành nên QC và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn (điểm M)
ML là đường trung bình của tam giác CD'Q nên ML // QD' (1)
tương tự MK // PE' (2)
dễ dàng chứng minh QD'//PE' (3) (đây là 2 đáy của 2 tam giác cân DD'Q và EE'P , 2 tam giác này có các cạnh bên tương ứng song song)
từ 1 2 3 ta có M nằm trên KL (trên thực nghiệm tớ thấy quỹ tích M chính là KL , nhưng điều này cần phải suy nghĩ thêm ^^)

keke vậy là xong hết , chỉ còn 2 problems của tớ thôi , các bạn tích cực giải nhé ^^

Một lời giải ....... dài giằng giặc.
Đây là lời giải ngắn gọn(hơn rất nhiều)

Vì BD+CE=const=> AD+AE=const=b
Lấy F và G trên AB và AC sao cho AG=AG=0.5b
Gọi giao điểm của DE và FK là M'
hạ DH,EK FG
ta có AD+AE=AF+AG=>DF=EG=> DFH= EGK (cạnh huyền và góc nhọn)
=> DH=EK=> DHM'= Đánh con mèo'(c-g-c)
=>DM'=M'E=> M' M=> M di động trên đoạn FG cố định
Phần đảo không khó(tự c/m đi)
P/S: sao dạo này mình siêng làm hình thế nhỉ?

[triều]

đúng là mình dở thật ! ^^ .. tớ còn phải học hỏi bạn phúc rất nhiều ! thanks !
@phuc : còn 2 bài hình nữa , hôm nào siêng siêng dứt luôn đi ^^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triều: 07-02-2010 - 20:41

[nguyen thai phuc]

đúng là mình dở thật ! ^^ .. tớ còn phải học hỏi bạn phúc rất nhiều ! thanks !
@phuc : còn 2 bài hình nữa , hôm nào siêng siêng dứt luôn đi ^^)

Dứt hả.Ừ thì.....dứt.
Bài 1

Lấy F trên Oy sao cho AFO=60=> F cố định
AFO=ACB=60=> ACBF là tứ giác nội tiếp
=>AFC=ABC=60
=> OFC=120 không đổi
vậy C chuyển động trên tia Fz với OFz=120
giới hạn và phần đảo: .....tự xử
Tí quên, còn trường hợp tam giác đều nằm dưới nữa, c/m tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 08-02-2010 - 19:01

[nguyen thai phuc]

Tiếp tục.
Bài 2:

Giới hạn và phần đảo: tự xử
P/S: vì lười gõ latex quá nên đánh vô luôn trong GSP

[triều]

hay !!
bài nữa nè : (các bạn kiếm dc bài nào cứ post lên , sao cứ mình ra đề thế này ^^)
-bạn phúc giỏi quá , làm bài này đi:
tìm quỹ tích các điểm M trong tứ giác lồi ABCD cho trước , sao cho diện tích MBCD=MBAD

đây là bài bình thường :
cho góc xOy , điểm A bên trong và 1 góc vuông chuyển động có đỉnh là A , 2 cạnh của góc cắt Ox,Oy tại B và C , tìm quỹ tích trung điểm BC

[nguyen thai phuc]

Hôm nay, nhân dịp mình có cái avarta mới, với lại sắp lên cấp hạ sĩ, mình post một loạt bài quĩ tích ra, theo yêu cầu bạn Triều.(Mình ngại làm hình quá rồi,ayz)
Mấy bài này mình copy trong sách ra, nhưng cũng không đến nỗi dễ đâu(làm đi)
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R.I là trung điểm của AO.Kẻ IK AB, cắt nửa đường tròn tại K.Điểm C thuộc đoạn IK, AC cắt nửa đường tròn tại.BM cắt IK tại D.Tìm quĩ tích tâm đường tròn ngoại tiếp ACD khi C di đ ộng trên đoạn IK.
Bài 2: Cho đường tròn(O,R), có AB là đường kính cố định, CD là đường kính di động. Gọi là tiếp tuyến với đường tròn tại B.AC;AD cắt lần lượt tại P và Q.Tìm quĩ tích tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD
Bài 3: Cho đường tròn(O,R) và đường tròn (O';R')(R<R'), tiếp xúc ngoài với nhau tại A.Qua A kẻ một đường thẳng di động cắt đường tròn (O;R) và đường tròn (O';R') tại B;C.Tìm quĩ tích K là trung điểm của BC.
(to be continue.....)

Còn đây là những bài toán quĩ tích "điển hình", có rất nhiều ứng dụng khi đi thi, nói chung là"lí thuyết" của quĩ tích:
Cho đoạn AB cố định, điểm M di động, một hằng số k cho trước:
Tìm quĩ tích M sao cho:
a) MA+MB=k
b) MA^2+MB^2=k
c) MA^2-MB^2=k
d) MA:MB=k
Khuyên các bạn không nên làm câu a vì nó là một hình elip

[bacdaptrai]

Tớ xin phép nói sơ qua một chút về quỹ tich :Tập Hợp điểm (quỹ tích) là một chuyên đề hình học bao gồm các bài toán thường hay gặp trong cấp trung học cơ sở , ở các cuộc thi chọn học sinh giỏi lớp 9 , hoặc thi vào các trường chuyên ... Đây là một dạng toán khá hấp dẫn (và ko kém phần quan trọng) thu hút nhiều bạn tham gia tìm hiểu & nghiên cứu...

Như các bạn có thể thấy trên diễn đàn (box hình THCS) có khá nhiều topic là những đề toán thuộc dạng này .Để tiện việc theo dõi cũng như tham khảo các bài toán về quỹ tích , tớ mở topic này với mong muốn là nơi tập hợp những bài toán về chuyên đề quỹ tích do các thành viên sưu tầm & post lên - với mục đích là phát huy tốt nhất công dụng của VMF chúng ta: là nơi mọi người chia sẻ kiến thức và giúp đỡ nhau về toán học .

Ý tứ của tớ là đến thế ^^. mong các bạn nhiệt tình ủng hộ , thường xuyên ghé qua để đóng góp ... thanks all !

đầu tiên tớ đóng góp 2 bài

bài 1 cho mấy bạn mới bắt đầu : góc vuông xOy cố định với A cố định trên Ox và B di chuyển trên Oy . tìm tập hợp các điểm C trong góc xOy sao cho ABC là tam giác đều

bài 2 cho mấy bạn đã có tí kinh nghiệm về quỹ tích :
tam giác ABC có K chuyển động trên AC , P chuyển động trên trung tuyến BD sao cho diện tích APK= diện tích BPC. tìm tập hợp các điểm M , là giao của AP và BK (bài này có thể tổng quát lên)

P/S : keke , bản thân tớ chẳng giỏi giang gì về môn QT này nên mở ra topic với vị trí là người mong muốn được học hỏi từ các bạn nhiều nhất đấy ^^

cho mình đóng góp bài này

Cho đường tròn (O ; R) và dây AB cố định , lấy một điểm M trên đoạn thẳng AB . Qua A, Mvẽ đường tròn (I; R₁ ) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A . Qua B, M vẽ đường tròn (J ; R₂) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B . Chứng minh rằng R= R₁+ R₂

[bacdaptrai]

bài này nữa nha 

Một đường thẳng d cắt đường tròn (O, R ) cho trước tại hai điểm A và B . Lấy điểm M bất kỳ cuả đường d ( M khác A và B ) vẽ hai đường tròn đi qua M và lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại A và B . Tìm hệ thức liên hệ giữa ba bán kính của

 

Quỹ tích (hay Tập hợp điểm) là một mảng khó. Nó được chính thức nói đến ở lớp 9, nhưng những học sinh khá giỏi ở các lớp dưới cũng có thể nghiên cứu về nó. Quy trình làm một bài toán quỹ tích gồm 5 phần rõ rệt như sau :
1. Tìm hiểu đề bài
2. Dự đoán quỹ tích
+ Điểm đặc biệt
+ Vị trí giới hạn
+ Điểm vô tận
+ Tính đối xứng
3. Giải phần thuận
4. Phần đảo
5. Kết luận
Tới đây, mình xin đóng góp một bài quỹ tích như sau :
Cho tam giác ABC cố định (AB < AC). Hai điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = a < AB (có nghĩa là tổng này không đổi). Trung điểm M của DE nằm trên đường nào ?

bài này nữa nha 

Một đường thẳng d cắt đường tròn (O, R ) cho trước tại hai điểm A và B . Lấy điểm M bất kỳ cuả đường d ( M khác A và B ) vẽ hai đường tròn đi qua M và lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại A và B . Tìm hệ thức liên hệ giữa ba bán kính cuả ba đường tròn nói trên

 ba đường tròn nói trên