Bài T1/392. (Lớp 6) Có tồn tại hay không các số nguyên $x, y$ sao cho $x^{3} - y^{3} = 10.10.2010$?
Bài T2/392. (Lớp 7) Cho số tự nhiên $n$ lớn hơn $1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1 + n}{1 + n^{n + 1}} > (\dfrac{1 + n^{n}}{1 + n^{n + 1}})^{n}$.
Bài T3/392. Cho $a, b, c, x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện:
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010 & \\ ax^{3}=by^{3}=cz^{3} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $x + y + z \geq \dfrac{3}{670}$
Bài T4/392. Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức: $BC^{2} + AB.AC - AB^{2} = 0$. Tính tổng $\widehat{A} + \dfrac{2}{3}\widehat{B}$.
Bài T5/392. Trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ vẽ hai đường kính $AE, BF$ vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ $E$ lấy điểm $C$. Dây cung $AC$ cắt đường kính $BF$ tại điểm $P$, còn dây cung $BC$ cắt đường kính $AE$ tại điểm $Q$. Tính diện tích tứ giác $APQB$ theo $R$.
Các lớp THPT
Bài T6/392. Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{y^{2} - 8x + 9} - \sqrt[3]{xy + 12 - 6x} \leq 1 & \\
\sqrt{2(x - y)^{2} + 10x - 6y + 12} - \sqrt{y} = \sqrt{x + 2} &
\end{matrix}\right.$
Bài T7/392. Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC, BD$. Chứng minh rằng ba điểm $E, I, O$ thẳng hàng.
Bài T8/392. Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau: $x_1 = 5 , x_{n + 1} = x^{2}_n - 2$ với mọi $n \geq 1$. Tìm:
1) $\mathop{\lim}\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x_{n + 1}}{x_1 x_2 ... x_n}$;
2) $\mathop{\lim}\limits_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_1 x_2} + ... + \dfrac{1}{x_1 x_2 ... x_n})$.
Tiến tới Olympic Toán
Bài T9/392. Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 2^{x}$, trong đó $P(x)$ là đa thức bậc $n$ có không quá $n + 1$ nghiệm.
Bài T10/392. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: R \to R$ thỏa mãn điều kiện:
$f(2010x - f(y)) = f(2009x) - f(y) + x, \forall x, y \in R$
Bài T11/392. Cho dãy số $(a_n)$ với $a_1 = a_2 = 1$ và $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n, n \geq 1$. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ với $a < b$ thỏa mãn điều kiện $a_n - 2na^{n}$ chia hết cho $b$ với mọi $n \geq 1$.
Bài T12/392. Gọi $I, R$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngọai tiếp một tam giác $ABC. IA, IB, IC$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $A_1, B_1, C_1$ tương ứng. Chứng minh bất đẳng thức:
$2R + \dfrac{IA + IB + IC}{3} \leq IA_1 + IB_1 + IC_1 \leq \dfrac{5}{2}R + \dfrac{IA + IB + IC}{6}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 06-08-2012 - 13:47
Chỉnh latex.
