5 replies to this topic

[1414141]

$a,b,c$ duong
chung minh
$\dfrac{a^2}{8a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{8b^2+(a+c)^2}+\dfrac{c^2}{8c^2+(a+b)^2} \le \dfrac{1}{4}$

Edited by 1414141, 15-02-2010 - 18:35.

[leviethai1994]

Đề bài đúng

$\dfrac{{{a^2}}}{{8{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{8{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{8{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le \dfrac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\dfrac{1}{{x + y}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)$

$ \dfrac{{{a^2}}}{{8{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4{a^2} + 2bc}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 2bc}}} \right)$

Vậy ta sẽ chứng minh 2 bất đẳng thức sau

$ \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{4{b^2} + {c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{4{c^2} + {a^2} + {b^2}}} \le \dfrac{1}{2}$

$ \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 2bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{4{b^2} + 2ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{4{c^2} + 2ab}} \le \dfrac{1}{2}$

Chứng minh cái thứ nhất

Ta có, lại áp dụng bất đẳng thức trên:

$ \dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3{a^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)$

Vậy: $ \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \le \sum {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right) = \dfrac{1}{2}}$

Chứng minh cái thứ hai


$\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 2bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{4{b^2} + 2ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{4{c^2} + 2ab}} \le \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2{b^2} + ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2{c^2} + ab}} \le 1 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \dfrac{{ab}}{{2{c^2} + ab}} \ge 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:


$\dfrac{{bc}}{{2{a^2} + bc}} + \dfrac{{ca}}{{2{b^2} + ca}} + \dfrac{{ab}}{{2{c^2} + ab}}$

$ = \dfrac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{2{a^2}bc + {{\left( {bc} \right)}^2}}} + \dfrac{{{{\left( {ca} \right)}^2}}}{{2{b^2}ca + {{\left( {ca} \right)}^2}}} + \dfrac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{2{c^2}ab + {{\left( {ab} \right)}^2}}}$

$\ge \dfrac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab} \right)}^2} + {{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2} + 2{a^2}bc + 2{b^2}ca + 2{c^2}ab}} = 1 $

Vậy ta có ĐPCM. Thông cảm nếu lời giải quá dài

[1414141]

Đề bài đúng

$\dfrac{{{a^2}}}{{8{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{8{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{8{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le \dfrac{1}{4}$

A` em nham` $\dfrac{1}{4}$
bai nay` co rui` a` anh
anh viet het ra nen no co ve dai nhung rat dep a ^^

Edited by 1414141, 15-02-2010 - 18:38.

[Messi_ndt]

$a,b,c$ duong
chung minh
$\dfrac{a^2}{8a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{8b^2+(a+c)^2}+\dfrac{c^2}{8c^2+(a+b)^2} \le \dfrac{1}{4}$

Chẩn hóa $a+b+c=3$ rùi dùng U.C.T chắc ra.

[dlt95]

Chẩn hóa $a+b+c=3$ rùi dùng U.C.T chắc ra.

anh có thể làm rõ ra đc ko ạ, với lại em cũng ko bjk bđt U.C.T ^^!!!!
--tks anh nhìu nhìu--

[Messi_ndt]

anh có thể làm rõ ra đc ko ạ, với lại em cũng ko bjk bđt U.C.T ^^!!!!
--tks anh nhìu nhìu--

anh thấy dạng cơ bản U.C.T thui.Chưa đặt bút nháp.
Chuẩn hóa a+b+c=3
$ \dfrac{a^{2}}{8a^{2}+(3-a)^{2}}-1/4-(a-1)/4 =(a-1)^{2}S \geq 0 $.Với S 0
Chắc phân tích được.
cộng 3 cái lại nha