Chủ đề này có 7 trả lời

[abstract]

1)Cho $a,b,c>0, a+b+c=6,abc=8$. Tính $ab+bc+ca$
2)Cho $a,b,c \in R,a+b+c=6,abc=8,ab+bc+ca \geq -15$.Tính $ab+bc+ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-01-2016 - 00:10

[anh qua]

1. hehe bài này chắ chắn sài BDt rồi.
AD AM-GM có :
$6 \geq3 \sqrt[3]{abc} => 8\geq abc.....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 23-02-2010 - 21:11

[abstract]

1. hehe bài này chắ chắn sài BDt rồi.
AD AM-GM có :
$6 /geq3 \sqrt[3]{abc} => 8/geq abc.....$

Trời câu 1 nói làm gì, để cạnh câu 2 cho thú vị

[nguyen thai phuc]

Câu 2 thì chứng minh thêm ab+bc+Ca>0 là suy ra a,b,c>0 nên đưa lại về câu a

Làm sao mà c/m được. Em thấy câu b vô lí đùng đùng.Đây là lời giải chi tiết của em.
Đặt
$\begin{array}{l} a = x^3 ;b = y^3 ;c = z^3 \\ \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 6 \\ xyz = 2 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {x - y} \right)^2 + \left( {y - z} \right)^2 + \left( {z - x} \right)^2 } \right] = 0 \\ \end{array}$
Bỏ qua trường hợp x=y=z, ta xét trường hợp x+y+z=0
Ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^3 + z^3 = 6(1) \\ x + y + z = 0(2) \\ xyz = 2(3) \\ \end{array} \right.$
Để í hệ này đặc biệt ở chỗ chỉ cần 2 pt đúng thì pt thứ 3 cũng đúng nên ta chỉ xét (2) và (3)
Cố định z lại, ta có:
$\begin{array}{l} x = - \left( {y + z} \right) \\ 2 = xyz = - \left( {y + z} \right)yz \\ \Leftrightarrow y^2 + yz + \dfrac{2}{z} = 0 \\ \end{array}$
từ đó hệ có 2 nghiệm:
$y = \dfrac{{ - z \pm \sqrt {z^2 - \dfrac{8}{z}} }}{2}$
Vai trò của hai nghiệm là tương đương nên ta chỉ xét một nghiệm, nghiệm còn lại cmtt.
$\begin{array}{l} y = \dfrac{{ - z + \sqrt {z^2 - \dfrac{8}{z}} }}{2} \\ z = z \\ x = - \dfrac{{z + \sqrt {z^2 - \dfrac{8}{z}} }}{2} \\ \end{array}$
Ta thấy ngay đây là nghiệm của hệ (1);(2);(3)(THỬ LẠI THÌ ĐÚNG)
Bây giờ là đoạn quan trọng.Theo biến đổi p,q,r(em đang học p,q,r :
$\begin{array}{l} ab + bc + ca = x^3 y^3 + y^3 z^3 + z^3 x^3 = q^3 - 3pqr + 3r^2 \\ p = 0;r = 2 \\ \Rightarrow ab + bc + ca = q^3 + 12 \\ \end{array}$
Mà
$\begin{array}{l} q = xy + yz + zx = xy - z^2 = \dfrac{2}{z} - z^2 \\ \Rightarrow ab + bc + ca = \left( {\dfrac{2}{z} - z^2 } \right)^3 + 12 = \dfrac{{\left( {2 - c} \right)^3 }}{c} + 12 \\ \end{array}$
Vậy là ta đã tính được ab+bc+ca theo c.Chú ý điều kiện của c khi lập delta nữa là được
KẾT LUẬN: KO TÍNH ĐƯỢC GIÁ TRỊ CỦA ab+bc+ca CỐ ĐỊNH.

[abstract]

Sorry sửa lại đề một chút nhá

[nguyen thai phuc]

Sorry sửa lại đề một chút nhá

Vẫn thế!
Em đã rút ra $ab + bc + ca = \dfrac{{\left( {2 - c} \right)^3 }}{c} + 12$ rồi mà.
THêm cái đk vào thôi.

[abstract]

Vẫn thế!
Em đã rút ra $ab + bc + ca = \dfrac{{\left( {2 - c} \right)^3 }}{c} + 12$ r�#8220;i mà.
THêm cái đk vào thôi.

Em cử thử đi. Khi sửa thế này sẽ có 2 nghiệm là $ab+bc+ca=-15$ và $ab+bc+ca=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 24-02-2010 - 23:26

[nguyen thai phuc]

À, em thấy rồi.
$\begin{array}{l} ab + bc + ca = \left( {\dfrac{{2 - z^3 }}{z}} \right)^3 + 12 \ge - 15 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - z^3 }}{z} \ge - 3 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{z^3 - 3z - 2}}{z} = \left( {\dfrac{{z - 2}}{z}} \right)\left( {z + 1} \right)^2 \le 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{z - 2}}{z} \le 0 \\ \end{array}$
Mà khi nãy xét delta thì
$\begin{array}{l} \Delta = z^2 - \dfrac{8}{z} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{z - 2}}{z} \ge 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{z - 2}}{z} = 0 \Leftrightarrow z = 2 \Leftrightarrow ab + bc + ca = - 15 \\ \end{array}$
còn trường hợp a=b=c thì ab+bc+ca=12