Bài toán này đã xuất hiện trên diễn đàn khá nhiều lần,nhưng lần này mình post lên để mong đc mọi ng giới thiệu lời giải bằng pp hình học ...........sử dụng định lí cos và định lí Ptoleme........????
Cho các số nguyên dương a,b,c,d với a>b>c>d.Giả sử ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
Chứng minh rằng:ab+cd không phải là số nguyên tố
#2
Đã gửi 23-02-2010 - 21:53
Pirates
-
- Thành viên
-
- 642 Bài viết
Mathematics...
Bài này không khó...
Ta có: $ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c)$
$\Leftrightarrow a^{2} - ac + c^{2} = b^{2} + bd + d^{2}$
Xét tứ giác $ABCD$ với $AB = a, BC = d, CD = b, AD = c, \widehat{BAD} = 60^{o}, \widehat{BCD} = 120^{o}$ và $BD^{2} = a^{2} - ac + c^{2} = b^{2} + bd + d^{2}$
Đặt $\widehat{ABC} = \alpha \Rightarrow \widehat{CDA} = 180^{o} - \alpha$. Áp dụng định lí cosin trong $\Delta ABC, \Delta ACD$, ta có:
$a^{2} + d^{2} - 2ad cos \alpha = b^{2} + c^{2} + 2bc cos \alpha = AC^{2}$
Ta có: $2 cos \alpha = \dfrac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{ad + bc}$ và
$AC^{2} = a^{2} - d^{2} - ad\dfrac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{ad + bc} = \dfrac{(ab + cd)(ac + bd)}{ad + bc}$
Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp, áp dụng định lí Ptolémé ta được:
$(AC.BD)^{2} = (ab + cd)^{2}$
$\Rightarrow (ac + bd)(a^{2} - ac + c^{2}) = (ab + cd)(ad + bc)$ (1)
Từ giả thiết, ta lại có: $(a - d)(b - c) > 0 , (a - b)(c - d) > 0$
$\Rightarrow ab + cd > ac + bd > ad + bc$ (2)
Giả sử $ab + cd$ là số nguyên tố. Nếu vậy, từ (2) dễ thấy $ab + cd$ và $ac + bd$ nguyên tố cùng nhau. Kêt hợp với (1), ta được $(ad + bc) \vdots (ac + bd)$ (vô lý) $\Rightarrow$ đpcm.
Ta có: $ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c)$
$\Leftrightarrow a^{2} - ac + c^{2} = b^{2} + bd + d^{2}$
Xét tứ giác $ABCD$ với $AB = a, BC = d, CD = b, AD = c, \widehat{BAD} = 60^{o}, \widehat{BCD} = 120^{o}$ và $BD^{2} = a^{2} - ac + c^{2} = b^{2} + bd + d^{2}$
Đặt $\widehat{ABC} = \alpha \Rightarrow \widehat{CDA} = 180^{o} - \alpha$. Áp dụng định lí cosin trong $\Delta ABC, \Delta ACD$, ta có:
$a^{2} + d^{2} - 2ad cos \alpha = b^{2} + c^{2} + 2bc cos \alpha = AC^{2}$
Ta có: $2 cos \alpha = \dfrac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{ad + bc}$ và
$AC^{2} = a^{2} - d^{2} - ad\dfrac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{ad + bc} = \dfrac{(ab + cd)(ac + bd)}{ad + bc}$
Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp, áp dụng định lí Ptolémé ta được:
$(AC.BD)^{2} = (ab + cd)^{2}$
$\Rightarrow (ac + bd)(a^{2} - ac + c^{2}) = (ab + cd)(ad + bc)$ (1)
Từ giả thiết, ta lại có: $(a - d)(b - c) > 0 , (a - b)(c - d) > 0$
$\Rightarrow ab + cd > ac + bd > ad + bc$ (2)
Giả sử $ab + cd$ là số nguyên tố. Nếu vậy, từ (2) dễ thấy $ab + cd$ và $ac + bd$ nguyên tố cùng nhau. Kêt hợp với (1), ta được $(ad + bc) \vdots (ac + bd)$ (vô lý) $\Rightarrow$ đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 23-02-2010 - 21:58
"God made the integers, all else is the work of men"
#3
Đã gửi 26-02-2010 - 19:55
abstract
-
- Thành viên
-
- 430 Bài viết
Sĩ quan
Bạn có thể xem bài toán trong phần "Một số ứng dụng của định lí Ptolemy" trong "Các bài toán từ cuộc thi chọn tài năng WINCONSIM và USAMTS".Bài toán này đã xuất hiện trên diễn đàn khá nhiều lần,nhưng lần này mình post lên để mong đc mọi ng giới thiệu lời giải bằng pp hình học ...........sử dụng định lí cos và định lí Ptoleme........????
Cho các số nguyên dương a,b,c,d với a>b>c>d.Giả sử ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
Chứng minh rằng:ab+cd không phải là số nguyên tố
PS: Lời giải của Pirates cũng là lời giải trong đó đấy
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông
Phải có danh gì với núi sông
#4
Đã gửi 26-02-2010 - 21:19
Pirates
-
- Thành viên
-
- 642 Bài viết
Mathematics...
Mình không có cuốn này, cuốn này có ebook không bạn, nếu có bạn post lên với nhé... bài này mình làm cũng lâu rồi...Bạn có thể xem bài toán trong phần "Một số ứng dụng của định lí Ptolemy" trong "Các bài toán từ cuộc thi chọn tài năng WINCONSIM và USAMTS".
PS: Lời giải của Pirates cũng là lời giải trong đó đấy
"God made the integers, all else is the work of men"
#5
Đã gửi 26-02-2010 - 21:25
abstract
-
- Thành viên
-
- 430 Bài viết
Sĩ quan
Quyển này chắc ko có ebook đâu, xuất bản năm 2001, NXB Đà NẵngMình không có cuốn này, cuốn này có ebook không bạn, nếu có bạn post lên với nhé... bài này mình làm cũng lâu rồi...
Đã mang tiếng ở trong trời đất
Phải có danh gì với núi sông
Phải có danh gì với núi sông
#6
Đã gửi 22-03-2010 - 19:38
GAUSS THU BA
-
- Thành viên
-
- 5 Bài viết
Lính mới
timf trong sách số học của thầy khải tập 3.Ông vượng chém ghê nhỉQuyển này chắc ko có ebook đâu, xuất bản năm 2001, NXB Đà Nẵng
KHTN
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
