Chủ đề này có 2 trả lời

[Te.B]

Có một bài làm đến đoạn này thì tắc......... ai giúp vs.......
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lấy 2 điểm P và Q sao cho góc QAP=45 độ. Trên cạnh AB, AD lấy 2 điểm M và N sao cho góc MCN=45 độ. Gọi giao điểm của AP và CM là E, giao điểm của CN và AQ là F. Chứng min BE song song với DF.

[chuyentoan]

Từ đề bài dễ dàng suy ra các cặp góc sau bằng nhau
$\widehat{DAQ}$ và $\widehat{CAP}$ (1)
$\widehat{CAQ}$ và $\widehat{BAP}$ (2)
$\widehat{ACN}$ và $\widehat{BCM}$ (3)
$\widehat{DCN}$ và $\widehat{ACM}$ (4)

Gọi $H,I,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $M,N,P,Q$ trên $AC$. $DE$ và $BF$ lần lượt cắt $AC$ tại $S,T$. Để chứng minh $DE,BF$ song song ta chỉ cần chứng minh $AS = CT$, hay $\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{TC}{TA}$.

Theo định lý Xê-va ta có:
$\dfrac{SA}{SC}\cdot \dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC} (=1)$

Nên ta chỉ cần chứng minh:
$\dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC}$

Ta có:
$\dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{S(AQC)}{S(AQD)} \cdot \dfrac{S(CND)}{S(CNA)}$
$= \dfrac{S(AQC)}{S(CNA)} \cdot \dfrac{S(CND)}{S(AQD)} = \dfrac{QK}{NI} \cdot \dfrac{DN}{DQ} $
$= \dfrac{\dfrac{QK}{AQ}}{\dfrac{NI}{NC}} \cdot \dfrac{\dfrac{DN}{CN}}{\dfrac{DQ}{AQ}} $ (5)

$\dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{S(CMA)}{S(CMB)} \cdot \dfrac{S(APB)}{S(APC)}$
$= \dfrac{S(CMA)}{S(APC)} \cdot \dfrac{S(APB)}{S(CMB)} = \dfrac{MH}{PJ} \cdot \dfrac{PB}{MB} $
$= \dfrac{\dfrac{MH}{MC}}{\dfrac{PJ}{AP}} \cdot \dfrac{\dfrac{PB}{AP}}{\dfrac{MB}{CM}} $ (6)

Từ (1), (2). (3), (4), (5) và (6) dễ thấy được chứng minh nên bài toán được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 05-03-2010 - 19:13

[chuyentoan]

Bổ sung một tí cho dễ hiêu, từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
$\dfrac{NI}{NC} = \dfrac{MB}{MC}$
$\dfrac{QK}{QA} = \dfrac{PB}{PA}$
$\dfrac{QD}{QA} = \dfrac{PJ}{PA}$
$\dfrac{ND}{NC} = \dfrac{MH}{MC}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 05-03-2010 - 19:12