18 replies to this topic

[Đỗ Quang Duy]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \geq 3$

Bài này mình lấy trong "Sáng tạo bất đẳng thức", không khó lắm, ai có cách hay thì chia sẻ nhé !

[maths_lovely]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \geq 3$

Bài này mình lấy trong "Sáng tạo bất đẳng thức", không khó lắm, ai có cách hay thì chia sẻ nhé !

hì
Bài này dùng AM-GM là OK
Bình phương hai vế của$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \geq 3$

$ \dfrac{a^2 b^2}{c^2} + \dfrac{b^2 c^2}{a^2} + \dfrac{a^2 c^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$
Ta có $( \dfrac{a^2 b^2}{c^2} + \dfrac{b^2 c^2}{a^2} )+( \dfrac{b^2 c^2}{a^2} + \dfrac{a^2 c^2}{b^2} )+( \dfrac{a^2 b^2}{c^2} + \dfrac{a^2 c^2}{b^2} ) \geq 2(a^3+b^3+c^3)$(dùng Am - GM)
=> đpcm

Edited by maths_lovely, 19-03-2010 - 12:54.

[Peter Pan]

sai rồi:cần phải CM:$a^2+b^2+c^2$ $a^3+b^3+c^3$

Edited by Nguyễn Hoàng Nam, 20-03-2010 - 21:51.

[terenceTAO]

sai rồi:cần phải CM:a^2+b^2+c^2 a^3+b^3+c^3

dễ dàng chưng minh được điều trên mà
$\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$>= $\3(a^3+b^3+c^3)$
khai triển dùng am-gm là xong

[Peter Pan]

Làm gì mà phức tạp vậy
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2 3abc
dễ dàng ta có:abc 1 (abc)^2 (abc)^3 3:sqrt[3]{(abc)^2} 3abc
mà (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 3 :sqrt[3]{(abc)^2} (AM-GM)
đpcm

[dlt95]

Ở trên bạn terence tao đưa ra cái bđt đó cũng sai!

bđt bạn terencetao đưa ra sai chỗ nào vậy bạn cường, có thể giải thích dùm mình ko ^^!!!

[dehin]

dễ dàng chưng minh được điều trên mà
$\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$
khai triển dùng am-gm là xong

bđt bạn terencetao đưa ra sai chỗ nào vậy bạn cường, có thể giải thích dùm mình ko ^^!!!

Bác Terencetao đưa BDT này ngược rồi!
$\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$
Phải là: $\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 3(a^3+b^3+c^3)$ mới đúng!

Edited by dehin, 20-03-2010 - 14:14.

[terenceTAO]

Bác Terencetao đưa BDT này ngược rồi!
$\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$
Phải là: $\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 3(a^3+b^3+c^3)$ mới đúng!

cảm ơn nha tôi lộn(ngu như bò)

Edited by terenceTAO, 21-03-2010 - 06:08.

[Messi_ndt]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \geq 3$

Bài này mình lấy trong "Sáng tạo bất đẳng thức", không khó lắm, ai có cách hay thì chia sẻ nhé !

Trong 3 số a,b,c nếu có 2 số Sup gần đến 1 và số còn lại Inf gần tiến tới 1 thì sai.

dễ dàng chưng minh được điều trên mà
$\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$>= $\3(a^3+b^3+c^3)$
khai triển dùng am-gm là xong

Sai hiển nhiên thấy Chebushev.

[nguyen thai phuc]

Trong 3 số a,b,c nếu có 2 số Sup gần đến 1 và số còn lại Inf gần tiến tới 1 thì sai.

Sai hiển nhiên thấy Chebushev.

Chà, $a^3+b^3+c^3=3$
thì làm sao cho a tiến tới inf được?

Edited by Nguyễn Hoàng Nam, 20-03-2010 - 21:54.

[nguyen phat tai]

Làm gì mà phức tạp vậy
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2 3abc
dễ dàng ta có:abc 1 (abc)^2 (abc)^3 3:sqrt[3]{(abc)^2} 3abc
mà (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 3 :sqrt[3]{(abc)^2} (AM-GM)
đpcm

tui sai nhưng theo huớng này là đúng rồi.
$ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \geq 3abc \sqrt[3]{bac} \geq 3=a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$
$\rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \geq 3abc \rightarrow (dpcm)$
dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[nguyen thai phuc]

$3abc \sqrt[3]{bac} \geq 3$

Sai ở chỗ này nè
Bạn bị nhầm chỗ này.abc=<1 mới đúng

[*LinKinPark*]

Bài này sai, STBĐT trang 186

Edited by *LinKinPark*, 21-03-2010 - 21:02.

[terenceTAO]

Bài này sai, STBĐT trang 186

đề phải là chứng minh bdt ko thể luôn đúng với a,b,c(giở lại sách mới bít)
tiện em post luôn bài này cho vui
$\sqrt{a(b+1)}$+$\sqrt{b(c+1)}$+$\sqrt{c(a+1)}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$ $\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$
với a,b,c là các số dương

Edited by terenceTAO, 22-03-2010 - 13:32.

[*LinKinPark*]

BĐT của bạn Terence Tao không đúng, cho $a=b=1,c= \dfrac{1}{2}$

Edited by *LinKinPark*, 22-03-2010 - 14:55.

[terenceTAO]

BĐT của bạn Terence Tao không đúng, cho $a=b=1,c= \dfrac{1}{2}$

bạn kiểm tra lại đi đề đúng đó!!!

[maths_lovely]

Hò
Bi h` mới thấy ông tài zô Đại đó . Hối h` hình ko

[*LinKinPark*]

Cho $a=b=1,c=\dfrac{1}{2}$
$\sqrt {a\left( {b + 1} \right)} + \sqrt {b\left( {c + 1} \right)} + \sqrt {c\left( {a + 1} \right)} - \dfrac{3}{2}\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} $
$ = \sqrt {1.\left( {1 + 1} \right)} + \sqrt {1.\left( {\dfrac{1}{2} + 1} \right)} + \sqrt {\dfrac{1}{2}.\left( {1 + 1} \right)} - \dfrac{3}{2}\sqrt {\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + 1} \right)} $
$ = \sqrt 2 + \sqrt {\dfrac{3}{2}} + 1 - 3.\sqrt {\dfrac{3}{2}} = - 0,03527618... < 0$

Edited by *LinKinPark*, 22-03-2010 - 18:00.

[maths_lovely]

Sac ....Không còn cách nào nữa ạ