Chủ đề này có 3 trả lời

[Peter Pan]

cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR:$ \dfrac{1}{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }+ \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} \geq30 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 26-03-2010 - 19:54

[dehin]

${(\dfrac{1}{3} + 1 + 1 + 1)^2} = {(\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{3} + \dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}\sqrt {ab} + \dfrac{1}{{\sqrt {bc} }}\sqrt {bc} + \dfrac{1}{{\sqrt {ca} }}\sqrt {ca} )^2}$
$ \le VT.\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9} + ab + bc + ca} \right)$
$ \Rightarrow VT \ge \dfrac{{{{(10/3)}^2}.9}}{{\left( {{{(a + b + c)}^2} + 7(ab + bc + ca)} \right)}} \ge \dfrac{{100}}{{(1 + 7/3)}} = 30$
Do $ 3(ab + bc + ca) \le {(a + b + c)^2} \Rightarrow ab + bc + ca \le 1/3$

[nguyenminhtrai]

cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR:$ \dfrac{1}{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }+ \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} \geq30 $

Do a+b+c=1 nên ab+ac+bc $\leq \dfrac{1}{3} $.
Mặt khác $\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} \geq \dfrac{9}{ab+ac+bc} $.
$\dfrac{1}{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }+\dfrac{1}{ab+ac+bc} + \dfrac{1}{ab+ac+bc} \geq \dfrac{9}{ (a+b+c)^{2} }=9.$
Và $ \dfrac{7}{ab+ac+bc} \geq 21$
Do đó A$ \geq 21+9=30$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenminhtrai: 26-03-2010 - 20:13

[Bùi Đình Bảo]

ờ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Đình Bảo: 26-03-2010 - 20:38