Chủ đề này có 1 trả lời

[Pirates]

Cho $a, ,b, c, d$ là các số thực dương. Cmr:

$(\dfrac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6})^{\dfrac{1}{2}} \geq (\dfrac{abc + abd + acd + bcd}{4})^{\dfrac{1}{3}}$

[*LinKinPark*]

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - d} \right)$

$ = {x^4} - \left( {a + b + c + d} \right){x^3} + \left( {ab + bc + cd + da + ac + bd} \right){x^2} - \left( {bcd + acd + abd + abc} \right)x + abcd$

$f'\left( x \right) = 4{x^3} - 3\left( {a + b + c + d} \right){x^2} + 2\left( {ab + bc + cd + da + ac + bd} \right)x - \left( {bcd + acd + abd + abc} \right)$ (1)

Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c \ge d$. Áp dụng định lý Lagrange cho các đoạn $\left[ {a,b} \right],\left[ {b,c} \right],\left[ {c,d} \right]$

Tồn tại các số ${x_1},{x_2},{x_3}$ lần lượt thuộc các đoạn $\left[ {a,b} \right],\left[ {b,c} \right],\left[ {c,d} \right]$ thỏa $f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = f'\left( {{x_3}} \right) = 0$

Suy ra $f'\left( x \right) = 4\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)$

$ = 4{x^3} - 4\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right){x^2} + 4\left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right)x - 4{x_1}{x_2}{x_3}$ (2)

Từ (1), (2) đi đến

${x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{1}{2}\left( {ab + bc + cd + da + ac + bd} \right)$

${x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{1}{4}\left( {bcd + acd + abd + abc} \right)$

AM-GM:

${x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}} \right)}^2}}}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{ab + bc + cd + da + ac + bd}}{6}} \right)^{1/2}} \ge {\left( {\dfrac{{bcd + acd + abd + abc}}{4}} \right)^{1/3}}$ Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 11-04-2010 - 22:28