1. Cho $a, b, c > 0$ và số tự nhiên $n \geq 1$. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}(\dfrac{a+b+c}{3})^{n-1}$
2. Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng
$S=\dfrac{a+b}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{c+d+a}+\dfrac{c+d}{d+a+b}+\dfrac{d+a}{a+b+c} \geq \dfrac{8}{3}$
Bài mới đây...
Bắt đầu bởi Đỗ Quang Duy, 18-04-2010 - 10:57
#1
Đã gửi 18-04-2010 - 10:57
#2
Đã gửi 18-04-2010 - 10:59
Bài đầu có lẽ là dạng tổng quát của bài mình vừa post . bài này dùng cosi thôi
#3
Đã gửi 18-04-2010 - 13:00
Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
Ta có: $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{3}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{a}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{2}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)$
Chú ý $\left( {\dfrac{{\sum {{a^{n - 1}}} }}{3}} \right) \ge {\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$
Suy ra $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{3}{2}.{\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$ Q.E.D
Bài 2 Ta có:
$S = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{a + b}}{{b + c + d}}} } \right) = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{b^2} + ab + ac + bc + ad + bd}}} } \right)$
$ \ge \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\left( {\sum {{a^2}} } \right) + 3\left( {\sum\limits_{cyc} {ab} } \right) + 4\left( {ac + bd} \right)}}$
$ = \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sum a } \right)}^2} + \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) + \left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right)}}$
AM-GM
$\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
$\left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Suy ra $S \ge \dfrac{8}{3}$
Ta có: $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{3}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{a}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{1}{2}\left( {\sum {{a^{n - 1}}} } \right)$
Chú ý $\left( {\dfrac{{\sum {{a^{n - 1}}} }}{3}} \right) \ge {\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$
Suy ra $\left( {\sum {\dfrac{{{a^n}}}{{b + c}}} } \right) \ge \dfrac{3}{2}.{\left( {\dfrac{{\sum a }}{3}} \right)^{n - 1}}$ Q.E.D
Bài 2 Ta có:
$S = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{a + b}}{{b + c + d}}} } \right) = \left( {\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{b^2} + ab + ac + bc + ad + bd}}} } \right)$
$ \ge \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\left( {\sum {{a^2}} } \right) + 3\left( {\sum\limits_{cyc} {ab} } \right) + 4\left( {ac + bd} \right)}}$
$ = \dfrac{{4{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sum a } \right)}^2} + \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) + \left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right)}}$
AM-GM
$\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
$\left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right) \le \dfrac{1}{4}{\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Suy ra $S \ge \dfrac{8}{3}$
#4
Đã gửi 19-04-2010 - 10:17
[quote name='*LinKinPark*' date='Apr 18 2010, 01:00 PM' post='234823']
Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?
Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?
#5
Đã gửi 22-04-2010 - 15:18
Bài 1 Không mất tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?
[/quote]
Vì nó đối xứng. giả sử vậy để sử dụng BDT chebyshev thôi. Không giả sử vậy cũng cm được. Dùng côsi là ra thôi
Cho mình hỏi chút sao nhiều bài toán hay giả sử dạng thế này vậy .Nếu không giả sử như vậy cm có dược không?
[/quote]
Vì nó đối xứng. giả sử vậy để sử dụng BDT chebyshev thôi. Không giả sử vậy cũng cm được. Dùng côsi là ra thôi
Bôi đen để thấy:
Hãy tìm cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát
Hãy tìm cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh