Chủ đề này có 5 trả lời

[thaicuc95]

$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} \geq \dfrac{(a1+a2)^2}{b1+b2}$
$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +\dfrac{a3^2}{b3} \geq \dfrac{(a1+a2+a3)^2}{b1+b2+b3}$
$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +..+\dfrac{an^2}{bn} \geq \dfrac{(a1+a2+..+an)^2}{b1+b2+..+bn}$
Mọi người tải files ở dưới , đánh text không được
Mọi người chứng minh luôn nhá , giúp mình chứng minh hết luôn nhá , thanks

File gửi kèm

•  B___t______ng_th___c.doc   18K   90 Số lần tải
•  B___t______ng_th___c.doc   18K   71 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaicuc95: 03-05-2010 - 21:00

[Tong Minh Cong]

Chứng minh rằng
$ :frac{a1^2}{b1} + :frac{a2^2}{b2} $>=$ :frac{(a1+a2)^2}{b1+b2} $
$$
$ :frac{a1^2}{b1} + :frac{a2^2}{b2}+ :frac{a3^2}{b3} $>=$ :frac{(a1+a2+a3)^2}{b1+b2+b3} $
$ :frac{a1^2}{b1} + :frac{a2^2}{b2} +...+ :frac{an^2}{bn} $>=$ :frac{(a1+a2+..+an)^2}{b1+b2+...+bn} $
Mọi người chứng minh luôn nhá , giúp mình chứng minh hết luôn nhá , thanks

AX.Có ai dịch được cái này ko vậy

[dehin]

BDT Cauchy-Schwarz dạng Engel mà!
Với các $ b_i >0$ thì $ \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {{a_i}} } \right)}^2}}}{{\sum {{b_i}} }}$
Nó suy ra từ BDT Cauchy-Schwarz:
$ {\sum {\left( {\dfrac{{{a_i}}}{{\sqrt {{b_i}} }}\sqrt {{b_i}} } \right)} ^2} \le \sum {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \sum {{b_i} \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {a_i}} \right)}^2}}}{{\sum {b_i}}}} $
Ko thì bạn có thể chứng minh kiểu quy nạp:
Với 2 số $ \dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2}}}$
Quy đồng phân số, nhân chéo, rút gọn ta đc BDT tương đương:
$ \Leftrightarrow {({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})^2} \ge 0 $ ( Đúng )
Với 3 số thì c/m :
$\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + \dfrac{{{a_3}^2}}{{{b_3}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2}}} + \dfrac{{{a_3}^2}}{{{b_3}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}$
quy nạp là xong c/m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dehin: 03-05-2010 - 21:14

[Tong Minh Cong]

$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} \geq \dfrac{(a1+a2)^2}{b1+b2}$
$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +\dfrac{a3^2}{b3} \geq \dfrac{(a1+a2+a3)^2}{b1+b2+b3}$
$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +..+\dfrac{an^2}{bn} \geq \dfrac{(a1+a2+..+an)^2}{b1+b2+..+bn}$
Mọi người tải files ở dưới , đánh text không được
Mọi người chứng minh luôn nhá , giúp mình chứng minh hết luôn nhá , thanks

Bài này chỉ cần dùng BĐT Bunhiacopski, tớ cm tổng quát:
$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +..+\dfrac{an^2}{bn} \geq \dfrac{(a1+a2+..+an)^2}{b1+b2+..+bn}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
$(\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +..+\dfrac{an^2}{bn})( b_{1} + b_{2} +...+ b_{n} ) \geq(a1+a2+a3+...+an)^2$
=>$\dfrac{a1^2}{b1}+\dfrac{a2^2}{b2} +..+\dfrac{an^2}{bn} \geq \dfrac{(a1+a2+..+an)^2}{b1+b2+..+bn}$

[binhnb]

bai nay ban nhan cheo rui dua ve hang dang thuc cung dc ..muon chung minh tong quat thi cu ap dung vao 2 so 1
day la bdt wen thuoc ma
day la 1 cach.ban co the ap dung bunhia cho nhah

[RS16]

BDT Cauchy-Schwarz dạng Engel mà!
Với các $ b_i >0$ thì $ \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {{a_i}} } \right)}^2}}}{{\sum {{b_i}} }}$
Nó suy ra từ BDT Cauchy-Schwarz:
$ {\sum {\left( {\dfrac{{{a_i}}}{{\sqrt {{b_i}} }}\sqrt {{b_i}} } \right)} ^2} \le \sum {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \sum {{b_i} \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{a_i}^2}}{{{b_i}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sum {a_i}} \right)}^2}}}{{\sum {b_i}}}} $
Ko thì bạn có thể chứng minh kiểu quy nạp:
Với 2 số $ \dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2}}}$
Quy đồng phân số, nhân chéo, rút gọn ta đc BDT tương đương:
$ \Leftrightarrow {({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})^2} \ge 0 $ ( Đúng )
Với 3 số thì c/m :
$\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + \dfrac{{{a_3}^2}}{{{b_3}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2}}} + \dfrac{{{a_3}^2}}{{{b_3}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}$
quy nạp là xong c/m

bài này dùng AM-GM roài quy nạp gọn hơn chứ